已知Sn是首項不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和,且a1+a2=a3,a1a2=a6
(1)求an和Sn
(2)求證:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
2
3
考點:數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組,求出首項和公差,由此能求出an和Sn
(2)由
1
Sn
=
2
3
(
1
n
-
1
n+1
)
,利用裂項求和法能證明
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
=
2
3
(1-
1
n+1
)<
2
3
解答: (1)解:設(shè){an}的公差為d,
由已知得
2a1+d=a1+2d
a1(a1+d)=a1+5d

解得a1=d=3,
∴an=3+(n-1)×3=3n.
Sn=3n+
n(n-1)
2
×3
=
3
2
n(n+1)

(2)
1
Sn
=
2
3
(
1
n
-
1
n+1
)
,
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn

=
2
3
(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1

=
2
3
(1-
1
n+1
)<
2
3
點評:本題考查數(shù)列的通項公式、前n項和公式的求法,考查不等式的證明,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意裂項求和法的合理運用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≤0時,f(x)=x(1-x),若數(shù)列{an}滿a1=
1
2
,且an+1=
1
1-an
,則f(a11)=( 。
A、6B、-6C、2D、-2

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在極坐標(biāo)系下,直線ρcosθ=1與圓ρ=2cosθ相交的弦長為
 

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函數(shù)y=ln(x2-2)的定義域為
 

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執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的k值為5,則輸入的整數(shù)p的最大值為(  )
A、7B、15C、31D、63

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以下四個命題:
①設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9),若P(ξ>c)=P(ξ<c-2),則常數(shù)c的值是2;
②若命題“?x0∈R,使得x02+ax0+1≤0成立”為真命題,則實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-2]∪[2,+∞);
③圓(x-1)2+y2=1被直線x-y=0分成兩段圓弧,則較短弧長與較長弧長之比為1:4;
④已知p:x≥k,q:
3
x+1
<1,如果p是q的充分不必要條件,則實數(shù)k的取值范圍是(2,+∞).
其中真命題的序號是
 
(把你認(rèn)為真命題的序號都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,AB是半圓O的直徑,BD與AC相交于點E,且OE⊥AC.若BE=3DE=3,則AC的長為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點A(-2,0),點M(x,y)為平面區(qū)域
2x+y-2≥0
x-2y+4≥0
3x-y-3≤0
上的一個動點,則|AM|的最小值是( 。
A、5
B、3
C、2
2
D、
6
5
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(cosωx,sinωx),
n
(cosωx,
3
cosωx)(ω>0),函數(shù)f(x)=
m
n
的最小正周期為π.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足a+c=8,b=7,f(
B
2
)=
3
2
,求△ABC的面積.

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