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已知a>0,b>0,
3
a
+
1
b
=2,求a+b-
a2+b2
的最大值.
考點:基本不等式
專題:三角函數的求值,不等式的解法及應用
分析:如圖所示,下面就一般情況給出結論.設P(m,n),∠OAP=θ.θ∈(0,
π
2
)
,可得E=m,EA=
n
tanθ
,OA=m+
n
tanθ
.OB=n+mtanθ,AB=
m
cosθ
+
n
sinθ
,于是OA+OB-AB=m+n+mtanθ+
n
tanθ
-
m
cosθ
-
n
sinθ
=2(m+n)-(nx+
2m
x
)
,其中x=1+tan
θ
2
∈(1,2).再利用基本不等式的性質即可得出最大值.把m=
3
2
,n=
1
2
代入上式可得.
解答: 解:∵a>0,b>0,
3
a
+
1
b
=2,表示直線AB經過點(
3
2
,
1
2
)
,A(a,0),B(0,b).
則a+b-
a2+b2
=OA+OB-AB.
如圖所示,下面就一般情況給出結論.
設P(m,n),∠OAP=θ.θ∈(0,
π
2
)
,則
OE=m,EA=
n
tanθ
,∴OA=m+
n
tanθ

同理可得:OB=n+mtanθ,AB=
m
cosθ
+
n
sinθ
,
∴OA+OB-AB=m+n+mtanθ+
n
tanθ
-
m
cosθ
-
n
sinθ

=m+n-
m(1-sinθ)
cosθ
-
n(1-cosθ)
sinθ

=m+n-
m(cos
θ
2
-sin
θ
2
)2
cos2
θ
2
-sin2
θ
2
-
n2sin2
θ
2
2sin
θ
2
cos
θ
2

=m+n-
m(1-tan
θ
2
)
1+tan
θ
2
-ntan
θ
2

=2(m+n)-(nx+
2m
x
)
,其中x=1+tan
θ
2
∈(1,2).
≤2(m+n)-2
2mn
,當且僅當x=
2m
n
=1+tan
θ
2
時取等號.
把m=
3
2
,n=
1
2
代入上式可得:
a+b-
a2+b2
的最大值為2(
3
2
+
1
2
)-2
3
2
×
1
2
=
3
+1
-
2
3
.當且僅當
3
2
1
2
=1+tan
θ
2
,即1+tan
θ
2
=
2
3
時取等號.
點評:本題考查了過定點的直線有關最大值問題、三角函數代換問題、三角函數化簡、基本不等式的性質,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
練習冊系列答案
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A、35%B、36%
C、64%D、65%

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2
,E為CC1的中點.
(Ⅰ)求證:平面A1BE⊥平面B1CD;
(Ⅱ)平面A1BE與底面A1B1C1D1所成的銳二面角的大小為θ,當
2
10
5
<AB<2
2
時,求θ的取值范圍.

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A、
3
B、2
C、
5
D、不存在

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求證:log 
a
N=2logaN.

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已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,其導函數為f′(x),當x<0時,2f(x)+xf′(x)<0恒成立,則f(1),2014f(
2014
)
,2015f(
2015
)
在大小關系為( 。
A、2015f(
2015
)
<2014f(
2014
)
<f(1)
B、2015f(
2015
)
<f(1)<2014f(
2014
)
C、f(1)<2015f(
2015
)
<2014f(
2014
)
D、f(1)<2014f(
2014
)
<2015f(
2015
)

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