考點:基本不等式
專題:三角函數的求值,不等式的解法及應用
分析:如圖所示,下面就一般情況給出結論.設P(m,n),∠OAP=θ.
θ∈(0,),可得E=m,EA=
,OA=m+
.OB=n+mtanθ,AB=
+
,于是OA+OB-AB=m+n+mtanθ+
-
-
=2(m+n)-
(nx+),其中x=
1+tan∈(1,2).再利用基本不等式的性質即可得出最大值.把m=
,n=
代入上式可得.
解答:
解:∵a>0,b>0,
+
=2,表示直線AB經過點
(,),A(a,0),B(0,b).
則a+b-
=OA+OB-AB.
如圖所示,下面就一般情況給出結論.
設P(m,n),∠OAP=θ.
θ∈(0,),則
OE=m,EA=
,∴OA=m+
.
同理可得:OB=n+mtanθ,AB=
+
,
∴OA+OB-AB=m+n+mtanθ+
-
-
=m+n-
-
,
=m+n-
-
=m+n-
-
ntan=2(m+n)-
(nx+),其中x=
1+tan∈(1,2).
≤2(m+n)-
2,當且僅當x=
=1+
tan時取等號.
把m=
,n=
代入上式可得:
a+b-
的最大值為2(
+)-2
=
+1-
.當且僅當
=1+
tan,即
1+tan=時取等號.
點評:本題考查了過定點的直線有關最大值問題、三角函數代換問題、三角函數化簡、基本不等式的性質,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.