Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x＜0時(shí)，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，則f（1），2014f(

2014

)，2015f(

2015

)在大小關(guān)系為（　　）

• A、2015f(

  2015

  )＜2014f(

  2014

  )＜f（1）
• B、2015f(

  2015

  )＜f（1）＜2014f(

  2014

  )
• C、f（1）＜2015f(

  2015

  )＜2014f(

  2014

  )
• D、f（1）＜2014f(

  2014

  )＜2015f(

  2015

  )

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：首先利用換元法設(shè)g（x）=x²f（x），進(jìn)一步利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，再利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間里的單調(diào)性，最后求出函數(shù)大小關(guān)系．

解答： 解：已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），
則：設(shè)函數(shù)g（x）=x²f（x）
則：g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）
=g′（x）=x（2f（x）+xf′（x））
當(dāng)x＜0時(shí)，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，
則：函數(shù)g′（x）＞0
所以函數(shù)在x＜0時(shí)，函數(shù)g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．
由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
則：函數(shù)g（x）=x²f（x）為奇函數(shù)．
所以：在x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．
所以：g（

2015

）＞g(

2014

)＞g(1)
即：2015f(

2015

)＞2014f(

2014

)＞f(1)
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．