Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，BC=

2

，E為CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：平面A₁BE⊥平面B₁CD；
（Ⅱ）平面A₁BE與底面A₁B₁C₁D₁所成的銳二面角的大小為θ，當(dāng)

2 10

5

＜AB＜2

2

時，求θ的取值范圍．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明：平面A₁BE⊥平面B₁CD，只需要證明BE⊥平面B₁CD即可；
（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系，設(shè)AB=a，求出平面A₁BE的法向量，底面A₁B₁C₁D₁的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合

2 10

5

＜AB＜2

2

，即可求θ的取值范圍．

解答： （Ⅰ）證明：∵CD⊥平面BCC₁B₁，
∴CD⊥BE，
∵E為CC₁的中點，
∴△B₁BC∽△BCE，
∴∠EBC=∠BB₁C，
∴∠EBB₁+∠BB₁C=90°，
∴BE⊥B₁C，
∴B₁C∩CD=C，
∴BE⊥平面B₁CD，
∵BE?平面A₁BE，
∴平面A₁BE⊥平面B₁CD；
（Ⅱ）解：以D為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系，設(shè)AB=a，則
A₁（

2

，0，2），B（

2

，a，0），E（0，a，1），
∴

A1B

=（0，a，-2），

A1E

=（-

2

，a，-1），
設(shè)平面A₁BE的法向量為

n

=（x，y，z），則

ay-2z=0 - 2 x+ay-z=0

，
∴可取

n

=（

a

2 2

，1，

a

2

）
∵底面A₁B₁C₁D₁的法向量為

m

=（0，0，1），
∴cosθ=

| a 2 |

1+ 3 8 a3

=

1

4 a2 + 3 2

，
∵

2 10

5

＜AB＜2

2

，
∴

8

5

＜a2＜8，
∴

2

＜

4 a2 + 3 2

＜2，
∴

1

2

＜cosθ＜

1

2

，
∴

π

4

＜θ＜

π

3

．

點評：本題考查線面、面面垂直，考查空間角，考查向量知識的運用，知識綜合性強．