已知函數(shù).
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）設,證明：對任意,總存在,使得.

（1）f(x)在(1,2)單調(diào)遞減函數(shù)，f(x)在(2,+∞)單調(diào)遞增函數(shù)；（2）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式等基礎知識，考查函數(shù)思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，先對求導，而分子還比較復雜，所以對分子進行二次求導，導數(shù)非負，所以分子所對函數(shù)為增函數(shù)，而，所以在上，在上，所以在為負值，在上為正值，所以得出的單調(diào)性；第二問，先對已知進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為恒成立，而，即轉(zhuǎn)化為恒成立，再次轉(zhuǎn)化為，通過求導判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷的正負.
試題解析：（1）       1分
設,
∴在是增函數(shù)，又                     3分
∴當時, ,則,是單調(diào)遞減函數(shù);
當時, ,則,是單調(diào)遞增函數(shù).
綜上知：在單調(diào)遞減函數(shù)，
在單調(diào)遞增函數(shù)                   6分
（2）對任意，總存在,使得恒成立
等價于恒成立,而,即證恒成立.等價于,
也就是證                               8分
設,             10分
∴在單調(diào)遞增函數(shù),又
∴當時,,則
當時,,則
綜上可得：對任意,總存在,
使得.                               12分
考點：1.利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.恒成立問題.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)（，）。
⑴若，求在上的最大值和最小值；
⑵若對任意，都有，求的取值范圍；
⑶若在上的最大值為，求的值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）當時，如果函數(shù)僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當時，試比較與1的大��；
（3）求證：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)在與時，都取得極值．
（1）求的值；
（2）若，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）若對都有恒成立，求的取值范圍．

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已知函數(shù)
(I)求的單調(diào)區(qū)間；
(II)若存在使求實數(shù)a的范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)，.
（1）當時，函數(shù)在處有極小值，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)和有相同的極大值，且函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求實數(shù)的值（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若在區(qū)間上的最大值為，求它在該區(qū)間上的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及的取值范圍；
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個極值點求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知實數(shù)函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最小值；
（Ⅱ）若≥對任意的恒成立，求實數(shù)的值；
（Ⅲ）證明：

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