Question

已知函數(shù)y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2，x∈R．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)的最大值及其相對應(yīng)的x值；
（3）寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（4）寫出函數(shù)的對稱軸．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性,正弦函數(shù)的對稱性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件利用三角函數(shù)的恒等變換求得函數(shù)的解析式為y=4sin（2x+

π

6

），可得函數(shù)的周期T．
（2）由函數(shù)的解析式可得當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z時，函數(shù)取得最大值為4，從而得出結(jié)論．
（3）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．
（4）令 2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x的解析式，可得函數(shù)的圖象的對稱軸．

解答： 解：（1）∵函數(shù)y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2=2+2cos2x+2

3

sin2x-2=4sin（2x+

π

6

），
∴函數(shù)的周期T=

2π

2

=π．
（2）由函數(shù)的解析式可得當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z時，函數(shù)取得最大值為4，
故函數(shù)的最大值為4，其相對應(yīng)的x值為x=kπ+

π

6

．k∈z．
（3）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（4）令 2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x=

k

2

π+

π

6

，k∈z，
故函數(shù)的圖象的對稱軸為 x=

k

2

π+

π

6

，k∈z．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性、最值、單調(diào)性和對稱性，屬于中檔題．