Question

設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列滿足，，已知，，其中.
(Ⅰ) 求數(shù)列的首項和公比；
(Ⅱ) 當(dāng)時，求；
(Ⅲ) 設(shè)為數(shù)列的前項和，若對于任意的正整數(shù)，都有，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

解：(Ⅰ) 由已知，所以，
， 所以，
解得，所以數(shù)列的公比.……………………………2分
(Ⅱ) 因為 ，
，……………①
，……………②
②①得，…………………………4分
所以，
當(dāng)時，.………………………………6分
(Ⅲ)，………………………………7分
因為，所以，由得，
注意到，當(dāng)為奇數(shù)時，當(dāng)為偶數(shù)時，
所以最大值為，最小值為.………………………………9分
對于任意的正整數(shù)都有，
所以，.
即所求實數(shù)的取值范圍是.……………………………………10分

本試題主要是考查了等比數(shù)列的通項公式的求解，以及數(shù)列前n項和的運用。
（1）因為設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列滿足，，已知，，其中，那么可知由已知，所以，
， 所以，
解得，所以數(shù)列的公比
（2）利用錯位相減法得到數(shù)列b_n的公式。
（3）設(shè)為數(shù)列的前項和，若對于任意的正整數(shù)，都有
因為，可以解得。