【題目】如圖,AB是圓O的直徑,C是圓O上不同于A,B的一點,PA⊥平面ABC,E是PC的中點,,PA=AC=1.

(1)求證:AE⊥PB;

(2)求三棱錐C-ABE的體積.

(3)求二面角A-PB-C的正弦值.

【答案】(1)詳見解析;(2);(3).

【解析】

1)由線面垂直得PABC,由圓O的直徑,得ACBC,從而AE平面PAC,進而BCAE,由等腰三角形性質得AEPC,由此能證明AEPB

2)求,轉化為以E為頂點,以ABC為底面時的體積來求即可。

3)過AAFPBPBF,連接EF,推導出∠AFE是二面角APBC的平面角,由此能求出二面角APBC的正弦值.

解:(1)證明:∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC

PABC,

AB是圓O的直徑,C是圓O上不同于A,B的一點

∴∠ACB90°,即ACBC,又PAACA

BC⊥平面PAC,又AE平面PAC

BCAE

PAAC,EPC的中點

AEPC,又BCPCC

AE⊥平面PBC,又PB平面PBC

AEPB

2)由已知可得

對于以E為頂點,以為底面時,

因為EPC的中點,所以E到面ABC的距離等于,

中,

3)過AAFPBPBF,連接EF

又由(1)得AEPB,AEAFA

PB⊥平面AEF,又EF平面AEF

PBEF,又AFPB

∴∠AFE是二面角APBC的平面角

∵在RtPAC中,PAAC1,則

RtPAB中,PA1AB,同理得

∴在RtAEF中,

故二面角APBC的正弦值為

練習冊系列答案
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1)試分別求出生產A,B兩種芯片的毛收入與投入資金的函數(shù)關系式.

2)如果公司只生產一種芯片,生產哪種芯片毛收入更大?

3)現(xiàn)在公司準備投入4億元資金同時生產AB兩種芯片,設投入x千萬元生產B芯片,用表示公司所獲利潤,當x為多少時,可以獲得最大利潤?并求最大利潤.(利潤=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研發(fā)耗費資金)

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組別

頻數(shù)

(1)求所得樣本的中位數(shù)(精確到百元);

(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),可近似地認為學生的旅游費用支出服從正態(tài)分布,若該市共有高中畢業(yè)生35000人,試估計有多少位同學旅游費用支出在 8100元以上;

(3)已知本數(shù)據(jù)中旅游費用支出在范圍內的8名學生中有5名女生,3名男生, 現(xiàn)想選其中3名學生回訪,記選出的男生人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學期望.

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A. 1022 B. 1023 C. 1024 D. 1025

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