Question

給出以下四個(gè)命題：
①若函數(shù)f（x）=x³+ax²+2的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，則a的值為-3；
②若f（x+2）+

1

f(x)

=0，則函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
③在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前N項(xiàng)和，且滿足S_n+1=

1

2

S_n+

1

2

，則{a_n}數(shù)列是等比數(shù)列；
④函數(shù)y=3^x+3^-x（x＜0）的最小值為2．
則正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，可得f（0）=-f（2），進(jìn)而可得a值；
②根據(jù)f（x+2）+

1

f(x)

=0，可得f（x+4）=f（x），進(jìn)而根據(jù)函數(shù)周期性的定義得到答案；
③根據(jù)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前N項(xiàng)和，且滿足S_n+1=

1

2

S_n+

1

2

，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到答案；
④結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，及對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得函數(shù)的最小值．

解答： 解：①∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+2的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱變換后，
∴f（0）=-f（2），即2=-（8+4a+2），
解得：a=-3，故正確；
②若f（x+2）+

1

f(x)

=0，則若f（x+2）=-

1

f(x)

，
則f（x+4）=-

1

f(x+2)

=f（x），故函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；故正確；
③在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前N項(xiàng)和，且滿足S_n+1=

1

2

S_n+

1

2

，則S₂=

1

2

S₁+

1

2

=

1

2

a₁+

1

2

=1，則a₂=0，故數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；故錯(cuò)誤；
④x＜0時(shí)，3^x?（0，1），此時(shí)y=3^x+3^-x＞2．故錯(cuò)誤；
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的對(duì)稱性，函數(shù)的奇偶性，等比數(shù)列的判斷，函數(shù)的最值，難度中檔．