Question

某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池（不計(jì)厚度）．設(shè)該蓄水池的底面半徑為米，高為米，體積為立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為元（為圓周率）.

（1）將表示成的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性，并確定和為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.

 

Answer 1

（1），函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720175861727883/SYS201411172018128521606714_DA/SYS201411172018128521606714_DA.003.png">；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)，函數(shù)為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)該蓄水池的體積最大.

【解析】

試題分析：（1）先由圓柱的側(cè)面積及底面積計(jì)算公式計(jì)算出側(cè)面積及底面積，進(jìn)而得出總造價(jià)，依條件得等式，從中算出，進(jìn)而可計(jì)算，再由可得；（2）通過(guò)求導(dǎo)，求出函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出取得最大值時(shí)的值.

（1）∵蓄水池的側(cè)面積的建造成本為元，底面積成本為元

∴蓄水池的總建造成本為元

所以即

∴

∴

又由可得

故函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720175861727883/SYS201411172018128521606714_DA/SYS201411172018128521606714_DA.003.png"> 6分

（2）由（1）中，

可得（）

令，則

∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)

當(dāng)，函數(shù)為減函數(shù)

所以當(dāng)時(shí)該蓄水池的體積最大 12分.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題；2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù).