建造一條防洪堤,其斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為60°(如圖),考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素,設(shè)計(jì)其斷面面積為數(shù)學(xué)公式平  方米,為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省,則斷面的外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)要最。
求外周長的最小值,此時(shí)防洪堤高h(yuǎn)為多少米?

解:由題意,如圖AD=BC+2×hcot60°=BC+,------------------------------------------------------(2分)
所以,---------------------------------------------(3分)
.-----------------------------------------------------------------------------(4分)
設(shè)外周長為l,則,-----------------------------(7分)
=;----------------------------------------------------------------------------(10分)
當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.----------------------------------------------------(12分)
外周長的最小值為米,此時(shí)堤高h(yuǎn)為米.-----------------------------------------(14分)
分析:本題是一個(gè)應(yīng)用題,研究的是用料最省,此類題一般要建立函數(shù)關(guān)系,利用求最值得出最佳方案,由題設(shè)條件,此斷面的面積已知,求外周長的最小值,引入變量防洪堤高h(yuǎn)建立外周長關(guān)于h的函數(shù),再根據(jù)函數(shù)的形式求最值即可
點(diǎn)評(píng):本題考查已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題,解題的關(guān)鍵是建立起符合條件的函數(shù)的模型,由于本題是一個(gè)研究用料最省的問題,故建立函數(shù)模型后要根據(jù)函數(shù)的形式選擇求最值的方法,由于本題在建立函數(shù)模型中出現(xiàn)了積為定值的形式,故采取了用基本不等式求最值,利用此法求最值有一易錯(cuò)點(diǎn),即忘記驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,對(duì)規(guī)律性強(qiáng)的題一定要把握好規(guī)律,準(zhǔn)確記憶
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)建造一條防洪堤,其斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為60°(如圖),考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素,設(shè)計(jì)其斷面面積為6
3
平方米,為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省,則斷面的外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)要最。
(1)求外周長的最小值,此時(shí)防洪堤高h(yuǎn)為多少米?
(2)如防洪堤的高限制在[ 3 , 2
3
 ]
的范圍內(nèi),外周長最小為多少米?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•楊浦區(qū)二模)建造一條防洪堤,其斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為60°(如圖),考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素,設(shè)計(jì)其斷面面積為6
3
平   方米,為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省,則斷面的外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)要最。
求外周長的最小值,此時(shí)防洪堤高h(yuǎn)為多少米?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江蘇省蘇南四校高三12月月考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

建造一條防洪堤,其斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為(如圖),考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素,設(shè)計(jì)其斷面面積為平方米,為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省,則斷面的外周長(梯形的上底線段與兩腰長的和)要最小.

(1)求外周長的最小值,并求外周長最小時(shí)防洪堤高h(yuǎn)為多少米?

(2)如防洪堤的高限制在的范圍內(nèi),外周長最小為多少米?

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江蘇省蘇南四校高三(上)12月月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

建造一條防洪堤,其斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為60°(如圖),考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素,設(shè)計(jì)其斷面面積為平方米,為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省,則斷面的外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)要最小.
(1)求外周長的最小值,此時(shí)防洪堤高h(yuǎn)為多少米?
(2)如防洪堤的高限制在的范圍內(nèi),外周長最小為多少米?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年山西省忻州一中高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

建造一條防洪堤,其斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為60°(如圖),考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素,設(shè)計(jì)其斷面面積為平方米,為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省,則斷面的外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)要最小.
(1)求外周長的最小值,此時(shí)防洪堤高h(yuǎn)為多少米?
(2)如防洪堤的高限制在的范圍內(nèi),外周長最小為多少米?

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