建造一條防洪堤,其斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為(如圖),考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素,設(shè)計(jì)其斷面面積為平方米,為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省,則斷面的外周長(zhǎng)(梯形的上底線段與兩腰長(zhǎng)的和)要最。
(1)求外周長(zhǎng)的最小值,并求外周長(zhǎng)最小時(shí)防洪堤高h(yuǎn)為多少米?
(2)如防洪堤的高限制在的范圍內(nèi),外周長(zhǎng)最小為多少米?
(1)外周長(zhǎng)的最小值為米,此時(shí)堤高為米.
(2)(米).(當(dāng)時(shí)取得最小值)
【解析】
試題分析:(1),AD=BC+2×=BC+, ,.
設(shè)外周長(zhǎng)為,則,
當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.外周長(zhǎng)的最小值為米,此時(shí)堤高為米.
(2)設(shè),則
,是的增函數(shù),
(米).(當(dāng)時(shí)取得最小值)
考點(diǎn):本題主要考查函數(shù)模型,求函數(shù)最值。
點(diǎn)評(píng):中檔題,利用圖象特征,確定得到周長(zhǎng)的表達(dá)式,在進(jìn)一步求函數(shù)最值過(guò)程中,可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù),也可以運(yùn)用均值定理,應(yīng)用均值定理時(shí),要注意“一正、二定、三相等”缺一不可。
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