【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的焦距為4,其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn),M為直線x=﹣3上任意一點(diǎn),過F作MF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P,Q.證明:OM經(jīng)過線段PQ的中點(diǎn)N.(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))

【答案】
(1)解:由題意可得c=2,

短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形,可得

a= 2b,即有a= b,a2﹣b2=4,

解得a= ,b= ,

則橢圓方程為 =1;


(2)證明:設(shè)M(﹣3,m),P(x1,y1),Q(x2,y2),

PQ的中點(diǎn)為N(x0,y0),kMF=﹣m,

由F(﹣2,0),可設(shè)直線PQ的方程為x=my﹣2,

代入橢圓方程可得(m2+3)y2﹣4my﹣2=0,

即有y1+y2= ,y1y2=﹣ ,

于是N(﹣ ),

則直線ON的斜率kON=﹣

又kOM=﹣ ,

可得kOM=kON

則O,N,M三點(diǎn)共線,即有OM經(jīng)過線段PQ的中點(diǎn).


【解析】(1)由橢圓C的焦距為4,及等邊三角形的性質(zhì)和a2=b2+c2 , 求得a,b,即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)M(﹣3,m),P(x1 , y1),Q(x2 , y2),PQ的中點(diǎn)為N(x0 , y0),kMF=﹣m,設(shè)直線PQ的方程為x=my﹣2,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,結(jié)合三點(diǎn)共線的方法:斜率相等,即可得證.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識,掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2018年俄羅斯世界杯激戰(zhàn)正酣,某校工會對全校教職工在世界杯期間每天收看比賽的時間作了一次調(diào)查,得到如下頻數(shù)分布表:

收看時間

(單位:小時)

14

28

20

12

(1)若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為球迷,否則定義為非球迷,請根據(jù)頻數(shù)分布表補(bǔ)全列聯(lián)表:

合計

球迷

40

非球迷

合計

并判斷能否有90%的把握認(rèn)為該校教職工是否為球迷性別有關(guān);

(2)在全校球迷中按性別分層抽樣抽取6名,再從這6球迷中選取2名世界杯知識講座.記其中女職工的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附表及公式:

0.15

0.10

0.05

0.025

2.072

2.706

3.841

5.024

.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校在2 015年11月份的高三期中考試后,隨機(jī)地抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績并進(jìn)行了分析,結(jié)果這50名同學(xué)的成績?nèi)拷橛?0分到140分之間.現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組,第一組[80,90),第二組[90,100),…第六組[130,140],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)試估計該校數(shù)學(xué)的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)這50名學(xué)生中成績在120分以上的同學(xué)中任意抽取3人,該3人在130分(含130分)以上的人數(shù)記為X,求X的分布列和期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】1)求直線在矩陣對應(yīng)變換作用下的直線的方程;

2)在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,求曲線C與直線交點(diǎn)的極坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,側(cè)面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E為PC中點(diǎn),底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2.

(1)求證:BE∥平面PAD;
(2)求證:BC⊥平面PBD;
(3)在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q,使得二面角Q﹣BD﹣P為45°?若存在,求 的值;若不存在,請述明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)求證:當(dāng)時,函數(shù)上存在唯一的零點(diǎn);

(Ⅱ)當(dāng)時,若存在,使得成立,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率,該橢圓中心到直線的距離為.

(1)求橢圓的方程;

(2)是否存在過點(diǎn)的直線,使直線與橢圓交于,兩點(diǎn),且以為直徑的圓過定點(diǎn)?若存在,求出所有符合條件的直線方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知變量之間的線性回歸方程為,且變量之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示,則下列說法錯誤的是( 。

x

6

8

10

12

y

6

m

3

2

A. 變量之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系

B. 的值等于5

C. 變量之間的相關(guān)系數(shù)

D. 由表格數(shù)據(jù)知,該回歸直線必過點(diǎn)(9,4)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù))在同一半周期內(nèi)的圖象過點(diǎn) , ,其中為坐標(biāo)原點(diǎn), 為函數(shù)圖象的最高點(diǎn), 為函數(shù)的圖象與軸的正半軸的交點(diǎn), 為等腰直角三角形.

(1)求的值;

(2)將繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角,得到,若點(diǎn)恰好落在曲線)上(如圖所示),試判斷點(diǎn)是否也落在曲線)上,并說明理由.

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