【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求證：當時，函數(shù)在上存在唯一的零點；

（Ⅱ）當時，若存在，使得成立，求的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).

【解析】分析：(Ⅰ)f求導得，，由，所以，則函數(shù)在單調遞增，計算f，，即可證明結論．
（Ⅱ）由（Ⅰ），，，

當時，，在單調遞增，

當時，，在單調遞減，當時，在時取最大值，最大值為.，“存在，使得成立”等價于“時，”，即可得出．

詳解：

（Ⅰ）函數(shù)，定義域為，，

由，所以，則函數(shù)在單調遞增，

又，，

函數(shù)在上單調遞增，

所以函數(shù)在上存在唯一的零點.

（Ⅱ）由（Ⅰ），，，

當時，，在單調遞增，

當時，，在單調遞減，

則在時取最大值，且最大值為.

“存在，使得成立”等價于“時，”，所以，即，

令，，則在單調遞增，且，

所以當時，，當時，，

即的取值范圍為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若在區(qū)間上單調遞減，則的取值范圍為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】(2016·重慶高二檢測)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點.

(1)證明：平面BDC1⊥平面BDC.

(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】大型綜藝節(jié)目《最強大腦》中，有一個游戲叫做盲擰魔方，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方，盲擰在外人看來很神奇，其實原理是十分簡單的，要學會盲擰也是很容易的.根據(jù)調查顯示，是否喜歡盲擰魔方與性別有關.為了驗證這個結論，某興趣小組隨機抽取了50名魔方愛好者進行調查，得到的情況如下表所示：

喜歡盲擰

不喜歡盲擰

總計

男

22

▲

30

女

▲

12

▲

總計

▲

▲

50

表1

并邀請這30名男生參加盲擰三階魔方比賽，其完成情況如下表所示：

成功完成時間（分鐘）

[0，10)

[10，20)

[20，30)

[30，40]

人數(shù)

10

10

5

5

表2

（1）將表1補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為是否喜歡盲擰與性別有關？

（2）根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，求這30名男生成功完成盲擰的平均時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；

（3）現(xiàn)從表2中成功完成時間在[0，10)內(nèi)的10名男生中任意抽取3人對他們的盲擰情況進行視頻記錄，記成功完成時間在[0，10)內(nèi)的甲、乙、丙3人中被抽到的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.

附參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設F為橢圓C的左焦點，M為直線x=﹣3上任意一點，過F作MF的垂線交橢圓C于點P，Q．證明：OM經(jīng)過線段PQ的中點N．（其中O為坐標原點）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側棱底面， 垂直于和，為棱上的點，，.

（1）若為棱的中點，求證：//平面；

（2）當時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；

（3）在第（2）問條件下，設點是線段上的動點，與平面所成的角為，求當取最大值時點的位置.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某商場舉行促銷活動，有兩個摸獎箱，箱內(nèi)有一個“”號球，兩個“”號球，三個“”號球、四個無號球，箱內(nèi)有五個“”號球，五個“”號球，每次摸獎后放回，每位顧客消費額滿元有一次箱內(nèi)摸獎機會，消費額滿元有一次箱內(nèi)摸獎機會，摸得有數(shù)字的球則中獎，“”號球獎元，“”號球獎元，“”號球獎元，摸得無號球則沒有獎金。

（1）經(jīng)統(tǒng)計，顧客消費額服從正態(tài)分布，某天有位顧客，請估計消費額（單位：元）在區(qū)間內(nèi)并中獎的人數(shù).（結果四舍五入取整數(shù)）

附：若，則，.

（2）某三位顧客各有一次箱內(nèi)摸獎機會，求其中中獎人數(shù)的分布列.

（3）某顧客消費額為元，有兩種摸獎方法，

方法一：三次箱內(nèi)摸獎機會；

方法二：一次箱內(nèi)摸獎機會.

請問：這位顧客選哪一種方法所得獎金的期望值較大.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】渦陽縣某華為手機專賣店對市民進行華為手機認可度的調查，在已購買華為手機的名市民中，隨機抽取名，按年齡（單位：歲）進行統(tǒng)計的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如圖：

分組（歲）

頻數(shù)

合計

（1）求頻數(shù)分布表中、的值，并補全頻率分布直方圖；

（2）在抽取的這名市民中，從年齡在、內(nèi)的市民中用分層抽樣的方法抽取人參加華為手機宣傳活動，現(xiàn)從這人中隨機選取人各贈送一部華為手機，求這人中恰有人的年齡在內(nèi)的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線與x軸交于不同的兩點A，B，曲線Γ與y軸交于點C．

（1）是否存在以AB為直徑的圓過點C？若存在，求出該圓的方程;若不存在，請說明理由；

（2）求證:過A，B，C三點的圓過定點，并求出該定點的坐標．

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