【題目】已知x,y,z∈(0,+∞),x+y+z=3.
(1)求的最小值;
(2)證明:
【答案】(1)3;(2)
【解析】
(1)根據(jù)基本不等式:x+y+z≥3﹣﹣﹣﹣﹣①;++≥3﹣﹣﹣﹣﹣②;再兩式同向相乘即可.
(2)構(gòu)造柯西不等式:(12+12+12)(x2+y2+z2)=3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2這個(gè)條件進(jìn)行計(jì)算即可.
(1) 因?yàn)閤>0,y>0,z>0,根據(jù)基本不等式:
x+y+z≥3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
++≥3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
①②兩式同向相乘得,
(x+y+z)(++)≥(3)(3)=9,
所以,++≥=3,
當(dāng)且僅當(dāng):x=y=z=1時(shí),原式取得最小值,
即++的最小值為3.
(2) 由柯西不等式可得(12+12+12)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=9,
可得:x2+y2+z2≥3,
即x2+y2+z2的最小值為3.>
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】角是△的兩個(gè)內(nèi)角.下列六個(gè)條件中,“”的充分必要條件的個(gè)數(shù)是 ( )
①; ②; ③;
④; ⑤; ⑥.
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中,決勝千里之外.”其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌,古代是用算籌來(lái)進(jìn)行計(jì)算,算籌是將幾寸長(zhǎng)的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算,算籌的擺放形式有縱橫兩種形式,如下表
表示一個(gè)多位數(shù)時(shí),像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣,把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,個(gè)位,百位,萬(wàn)位數(shù)用縱式表示,十位,千位,十萬(wàn)位用橫式表示,以此類推, 例如6613用算籌表示就是: ,則26337用算籌可表示為( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動(dòng);“書”,指各種歷史文化知識(shí);“數(shù)”,指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動(dòng),每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“數(shù)”必須排在第三節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰排課,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有( )
A.12種B.24種C.36種D.48種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著全民健康運(yùn)動(dòng)的普及,每天一萬(wàn)步已經(jīng)成為一種健康時(shí)尚,某學(xué)校為了教職工健康工作,在全校范圍內(nèi)倡導(dǎo)“每天一萬(wàn)步”健步走活動(dòng),學(xué)校界定一人一天走路不足4千步為健步常人,不少于16千步為健步超人,其他為健步達(dá)人,學(xué)校隨機(jī)抽查了36名教職工,其每天的走步情況統(tǒng)計(jì)如下:
步數(shù) | |||
人數(shù) | 6 | 18 | 12 |
現(xiàn)對(duì)抽查的36人采用分層抽樣的方式選出6人
(1)求從這三類人中各抽多少人;
(2)現(xiàn)從選出的6人中隨機(jī)抽取2人,求這兩人健步類型相同的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】祖暅(公元前5~6世紀(jì))是我國(guó)齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家,是祖沖之的兒子,他提出了一條原原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異.”這里的“冪”指水平截面的面積,“勢(shì)”指高。這句話的意思是:兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個(gè)幾何體體積相等。設(shè)由橢圓 所圍成的平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周后,得一橄欖狀的幾何體(稱為橢球體),課本中介紹了應(yīng)用祖暅原理求球體體積公式的做法,請(qǐng)類比此法,求出橢球體體積,其體積等于( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某公園有三個(gè)警衛(wèi)室、、有直道相連,千米,千米,千米.
(1)保安甲沿從警衛(wèi)室出發(fā)行至點(diǎn)處,此時(shí),求的直線距離;
(2)保安甲沿從警衛(wèi)室出發(fā)前往警衛(wèi)室,同時(shí)保安乙沿從警衛(wèi)室出發(fā)前往警衛(wèi)室,甲的速度為1千米/小時(shí),乙的速度為2千米/小時(shí),若甲乙兩人通過對(duì)講機(jī)聯(lián)系,對(duì)講機(jī)在公園內(nèi)的最大通話距離不超過3千米,試問有多長(zhǎng)時(shí)間兩人不能通話?(精確到0.01小時(shí))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用合適的方法表示下列集合,并說明是有限集還是無(wú)限集.
(1)到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合
(2)滿足不等式的的集合
(3)全體偶數(shù)
(4)被5除余1的數(shù)
(5)20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)
(6)
(7)方程的解集
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知橢圓上動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)為原點(diǎn).
(1)若,求證:為定值;
(2)點(diǎn),若,求證:直線過定點(diǎn);
(3)若,求證:直線為定圓的切線.
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