【題目】如圖,某公園有三個警衛(wèi)室、有直道相連,千米,千米,千米.

(1)保安甲沿從警衛(wèi)室出發(fā)行至點處,此時,求的直線距離;

(2)保安甲沿從警衛(wèi)室出發(fā)前往警衛(wèi)室,同時保安乙沿從警衛(wèi)室出發(fā)前往警衛(wèi)室,甲的速度為1千米/小時,乙的速度為2千米/小時,若甲乙兩人通過對講機聯(lián)系,對講機在公園內(nèi)的最大通話距離不超過3千米,試問有多長時間兩人不能通話?(精確到0.01小時)

【答案】(1);(2).

【解析】

(1)由解直角三角形可得∠C=30°,在△BPC中由余弦定理可得BP的值;(2)設(shè)甲出發(fā)

后的時間為t小時,則由題意可知0t4,設(shè)甲在線段CA上的位置為點M,則AM=4﹣t,討論0t1時,當(dāng)1t4時,分別在△AMQ和△AMB中,運用余弦定理和二次不等式的解法,即可得到所求結(jié)論.

(1)在RtABC中,AB=2,BC=2

所以∠C=30°,

在△PBCPC=1,BC=2

由余弦定理可得

BP2=BC2+PC2﹣2BCPCcos30°

=(22+1﹣2×2×1×=7,

BP=;

(2)在RtABC中,BA=2,BC=2,AC=4,

設(shè)甲出發(fā)后的時間為t小時,則由題意可知0t4,

設(shè)甲在線段CA上的位置為點M,則AM=4﹣t,

①當(dāng)0t1時,設(shè)乙在線段AB上的位置為點Q,則AQ=2t,

如圖所示,在△AMQ中,

由余弦定理得MQ2=(4﹣t)2+(2t)2﹣22t(4﹣t)cos60°=7t2﹣16t+169,

解得tt,

所以0t;

②當(dāng)1t4時,乙在警衛(wèi)室B處,在△ABM中,

由余弦定理得MB2=(4﹣t)2+4﹣22t(4﹣t)cos60°=t2﹣6t+129,

解得t3﹣t3+,又1t4,不合題意舍去.

綜上所述0t時,甲乙間的距離大于3千米,

所以兩人不能通話的時間為小時.

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