橢圓C:=1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),M是橢圓短軸的一個端點,且滿足=0,點N( 0,3 )到橢圓上的點的最遠距離為5
(1)求橢圓C的方程
(2)設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B,Q為AB的中點,;問A、B兩點能否關(guān)于過點P、Q的直線對稱?若能,求出k的取值范圍;若不能,請說明理由.

(1)所求橢圓方程為
(2)當k∈(﹣,0)∪(0,)時,A、B兩點關(guān)于過點P、Q的直線對稱

解析試題分析:(1)由M是橢圓短軸的一個端點,且滿足=0,可得△F1F2M是一個以M為直角的等腰直角三角形,結(jié)合點N( 0,3 )到橢圓上的點的最遠距離為5,求出a,b的值,可得橢圓的方程;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),將A,B兩點代入橢圓方程,利用點差法,可得x0+2ky0=0,根據(jù)對稱的性質(zhì),可得y0=﹣x0,再結(jié)合Q點在橢圓內(nèi)部,構(gòu)造關(guān)于k的不等式,解不等式可得k的范圍.
(1)∵M是橢圓短軸的一個端點,且滿足=0,
即△F1F2M是一個以M為直角的等腰直角三角形
故橢圓方程可表示為:
設(shè)H( x,y )是橢圓上的一點,
則|NH|2=x2+(y﹣3)2=﹣(y+3)2+2b2+18,其中﹣b≤y≤b
若0<b<3,則當y=﹣b時,|NH|2有最大值b2+6b+9,
所以由b2+6b+9=50解得b=﹣3±5(均舍去)
若b≥3,則當y=﹣3時,|NH|2有最大值2b2+18,
所以由2b2+18=50解得b2=16
∴所求橢圓方程為
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),Q為AB的中點
∴x0=,y0=,
則由兩式相減得:x0+2ky0=0…①
又由直線PQ⊥l,
∴直線PQ的方程為y=﹣x﹣
將Q(x0,y0)坐標代入得:y0=﹣x0…②
由①②得Q(﹣k,
而Q點在橢圓內(nèi)部
,即k2
又∵k≠0
∴k∈(﹣,0)∪(0,
故當k∈(﹣,0)∪(0,)時,A、B兩點關(guān)于過點P、Q的直線對稱
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題;橢圓的標準方程
點評:本題考查的知識點是直線與圓錐曲線,橢圓的標準方程,是高考的壓軸題型,運算量大,綜合性強,屬于難題

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