【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)到直線的距離為3．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求證：直線MN恒過(guò)定點(diǎn)．

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題可知值，由右焦點(diǎn)到直線的距離為3表示，和 構(gòu)建方程組，求得，即可求得橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，即可表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，由，垂直，則將M坐標(biāo)中的k換成，即可表示N點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)坐標(biāo)分別表示與，觀察即可證明.

（1）由題意知，，，，

解得，，．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）顯然直線，的斜率存在．

設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組，得，

解得，，

所以，．

由，垂直，可得直線的方程為．

用替換前式中的k，可得，．

則，

，

所以，故直線MN恒過(guò)定點(diǎn)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)到直線的距離為3．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求證：直線MN恒過(guò)定點(diǎn)．

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