Question

【題目】已知實數，是函數的兩個零點.

（1）求實數a的取值范圍；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析

【解析】

（1）先求導數，根據導函數零點確定函數單調區(qū)間，根據單調性確定有兩個零點的必要條件，再利用零點存在定理說明時有且僅有兩個零點；

（2）不妨設，并構造，利用導數證明其單調遞增，結合可得，最后根據單調性得結果.

（1），當時，，當時，，

即在內單調遞減，在內單調遞增，

要使有兩個零點，必須，即，

當時，，故存在使得，

構造函數，則，當時，，當時，，

即在內單調遞減，在內單調遞增，則，即，

則，故存在使得，

結合的單調性可知，當時，在R上有且僅有兩個零點，綜上.

（2）證明：由（1）不妨設，構造，

，故在R上單調遞增，又，

故當時，，即，取得，

因為，所以，因為在內單調遞減，

所以，所以.