Question

已知函數(shù)f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x
（1）如果x∈[1，2]，求函數(shù)h（x）=[f（x）+1]g（x）的值域；
（2）求函數(shù)M（x）=

f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|

2

的最大值．
（3）如果對(duì)任意x∈[1，2]，不等式f（x²）f（

x

）＞k•g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令t=log₂x，則h（x）=-2（t-1）²+2．由x∈[1，2]，可得t∈[0，1]，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得h（x）的值域．
（2）根據(jù)函數(shù)M（x）=

g(x)  ，f(x)≥g(x) f(x)  ，f(x)＜g(x)

，f（x）-g（x）=3（1-log₂x），分類討論求得M（x）的最大值．
（3）由題意可得（3-4log₂x）（3-log₂x）＞klog₂x，根據(jù)t∈[0，1]，可得（3-4t）（3-t）＞kt對(duì)一切t∈[0，1]恒成立．再分①當(dāng)t=0和②當(dāng)t∈[0，1]兩種情況，求得k的取值范圍．

解答： 解：（1）令t=log₂x，則f（x）=3-t，g（x）=t，
h（x）=（4-2log₂x）•log₂x=-2（t-1）²+2．
∵x∈[1，2]，∴t∈[0，1]，
故當(dāng)t=1時(shí)，h（x）取得最大值為2，當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)取得最小值為0，
∴h（x）的值域?yàn)閇0，2]．
（2）函數(shù)M（x）=

f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|

2

=

g(x)  ，f(x)≥g(x) f(x)  ，f(x)＜g(x)

，
∵f（x）-g（x）=3（1-log₂x），
∴當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）≥g（x） M（x）=log₂x．
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f（x）＜g（x） M（x）=3-2log₂x．
即M（x）=

log2x  ，0＜x≤2 3-2log2x ， x＞2

．
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，M（x）最大值為1；當(dāng)x＞2時(shí)，M（x）＜1．
綜上：當(dāng)x=2時(shí)，M（x）取到最大值為1．
（3）∵對(duì)任意x∈[1，2]，不等式f（x²）f（

x

）＞k•g（x）恒成立，
即（3-4log₂x）（3-log₂x）＞klog₂x，
∵x∈[1，2]，∴t∈[0，1]，∴（3-4t）（3-t）＞kt對(duì)一切t∈[0，1]恒成立．
①當(dāng)t=0時(shí)k∈R．
②當(dāng)t∈[0，1]，k＜

9

t

+4t-15，∵h(yuǎn)（t）=

9

t

+4t-15在（0，1]上是減函數(shù)，
∴h（t）_min=-2，（t=1時(shí)），∴k＜-2．
綜述，k的取值范圍為（-∞，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．