Question

已知雙曲線C與雙曲線x²-

y2

2

=1有共同的漸近線，且雙曲線C過點M（2，2），則過點A（1，1）能否作直線l，使l與雙曲線C交于Q₁、Q₂兩點，且A是線段Q₁Q₂的中點，這樣的直線l如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出雙曲線方程，假設直線l存在．由已知條件利用點差法求出直線l的方程為2x-y-1=0，y=2x-1代入雙曲線方程，得2x²-4x+5=0，由△＜0，推導出直線l不存在．

解答： 解：設雙曲線方程為x²-

y2

2

=λ
代入點M（2，2），得λ=2，
∴雙曲線C的方程為

x2

2

-

y2

4

=1
設點Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），則2x₁²-y₁²=4，2x₂²-y₂²=4
由點差法作差，利用A是線段Q₁Q₂的中點，代入得k=2                                 
∴直線l的方程為y-1=2（x-1）即y=2x-1            
y=2x-1代入雙曲線方程，得2x²-4x+5=0
∵△=16-4×2×5=-24＜0，
∴直線l與雙曲線C無交點，故直線l不存在．

點評：本題考查雙曲線方程、直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點差法和根的判別式的合理運用．