【題目】如圖所示，三棱柱中，已知側(cè)面， ， ， .

（1）求證： 平面；

（2）是棱上的一點(diǎn)，若二面角的正弦值為，求線(xiàn)段的長(zhǎng).

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)2或3.

【解析】試題分析：（Ⅰ）證明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后證明BC⊥BC1，利用直線(xiàn)與平面垂直的判定定理證明C1B⊥平面ABC．

（Ⅱ）通過(guò)AB，BC，BC1兩兩垂直．以B為原點(diǎn)，BC，BA，BC1所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面AB1E的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量通過(guò)向量的數(shù)量積，推出λ的方程，求解即可．

試題解析： 證明：因?yàn)?/span>平面， 平面，所以，

在中， ， ， ，

由余弦定理得： ，

故，所以，

又，∴平面.

由可以知道， ， ，兩兩垂直，以為原點(diǎn)， ， ，所在直線(xiàn)為， ， 軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則， ， ， ， ， ， .

令，∴， .

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

，

令，則， ，

∴，

平面，∴是平面的一個(gè)法向量，

，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，所以或.

∴或.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某特色餐館開(kāi)通了美團(tuán)外賣(mài)服務(wù)，在一周內(nèi)的某特色菜外賣(mài)份數(shù)（份）與收入（元）之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

外賣(mài)份數(shù)（份）

2

4

5

6

8

收入（元）

30

40

60

50

70

（1）畫(huà)出散點(diǎn)圖；

（2）求回歸直線(xiàn)方程；

（3）據(jù)此估計(jì)外賣(mài)份數(shù)為12份時(shí)，收入為多少元．

注：①參考公式：線(xiàn)性回歸方程系數(shù)公式， ；

②參考數(shù)據(jù)： ， ， ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．

（1）求證：AC1∥平面CDB1
（2）求證：AC⊥BC1
（3）求直線(xiàn)AB1與平面BB1C1C所成的角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】交強(qiáng)險(xiǎn)是車(chē)主必須為機(jī)動(dòng)車(chē)購(gòu)買(mǎi)的險(xiǎn)種，若普通6座以下私家車(chē)投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車(chē)輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如表：

交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表

浮動(dòng)因素

浮動(dòng)比率

上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮10%

上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮20%

上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮30%

上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故

0%

上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故

上浮10%

上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故

上浮30%

某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車(chē)的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車(chē)齡已滿(mǎn)三年的該品牌同型號(hào)私家車(chē)的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：

類(lèi)型

數(shù)量

10

5

5

20

15

5

以這60輛該品牌車(chē)的投保類(lèi)型的頻率代替一輛車(chē)投保類(lèi)型的概率，完成下列問(wèn)題：

求一輛普通6座以下私家車(chē)（車(chē)險(xiǎn)已滿(mǎn)三年）在下一年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率；

某二手車(chē)銷(xiāo)售商專(zhuān)門(mén)銷(xiāo)售這一品牌的二手車(chē)，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車(chē)輛記為事故車(chē).假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車(chē)虧損5000元，一輛非事故車(chē)盈利10000元.且各種投保類(lèi)型車(chē)的頻率與上述機(jī)構(gòu)調(diào)查的頻率一致，完成下列問(wèn)題：

①若該銷(xiāo)售商購(gòu)進(jìn)三輛（車(chē)齡已滿(mǎn)三年）該品牌二手車(chē)，某顧客欲在店內(nèi)隨機(jī)挑選兩輛車(chē)，求這兩輛車(chē)恰好有一輛為事故車(chē)的概率；

②若該銷(xiāo)售商一次購(gòu)進(jìn)120輛（車(chē)齡已滿(mǎn)三年）該品牌二手車(chē)，求一輛車(chē)盈利的平均值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲﹣18歲的男生體重（kg），得到頻率分布直方圖如圖．根據(jù)圖可得這100名學(xué)生中體重在〔56.5，64.5〕的學(xué)生人數(shù)是（ ）

A.20
B.30
C.40
D.50

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個(gè)，生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過(guò)10小時(shí)．若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤(rùn)5元，生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤(rùn)6元，生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤(rùn)3元．
（1）用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)x與騎兵個(gè)數(shù)y表示每天的利潤(rùn)W（元）；
（2）怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】進(jìn)行隨機(jī)抽樣時(shí)，甲學(xué)生認(rèn)為：“每次抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)，任一個(gè)個(gè)體a被抽到的概率”與“在整個(gè)抽樣過(guò)程中個(gè)體a被抽到的概率”是一回事，而學(xué)生乙則認(rèn)為兩者不是一回事．你認(rèn)為甲、乙兩學(xué)生中哪個(gè)對(duì)？請(qǐng)列舉具體例子加以說(shuō)明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若a，b是函數(shù)f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，﹣2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p+q的值等于 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，AA1=AB=2．

（1）求證：AB1∥平面BC1D；
（2）若BC=3，求三棱錐D﹣BC1C的體積．

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