Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)的橢圓C1和拋物線C2有相同的焦點(diǎn)(1，0)，橢圓C1過點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)．

(1)求橢圓C1和拋物線C2的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P為拋物線C2準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C2的兩條切線PA，PB，其中A、B為切點(diǎn)．

設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值；

②若直線AB交橢圓C1于C，D兩點(diǎn)，S△PAB，S△PCD分別是△PAB，△PCD的面積，試問：是否有最小值?若有，求出最小值；若沒有，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,橢圓的方程為:,(2)①證明見解析,②有,最小值為

【解析】

(1)利用可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)和點(diǎn)在橢圓上列方程組可求得和,從而可得標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)①利用△=0以及韋達(dá)定理可得結(jié)論;

②先求出直線過定點(diǎn),將問題轉(zhuǎn)化為,即求得最小值,當(dāng)直線的斜率存在時,聯(lián)立直線與拋物線,利用弦長公式求出和,然后求比值,此時大于,當(dāng)直線的斜率不存在時,直接求出和可得比值為.從而可得結(jié)論.

(1)因為拋物線C2有相同的焦點(diǎn)(1，0),且頂點(diǎn)為原點(diǎn),所以,所以,

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,

設(shè)橢圓方程為,則且,解得,

所以橢圓的方程為:.

(2)①證明:設(shè),過點(diǎn)與拋物線相切的直線為,

由,消去得,

由△=,得,

則.

②設(shè)

由①得,則,

所以直線的方程為,所以,

即,即直線恒過定點(diǎn),

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,

所以,

當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,

設(shè),

由,消去得,

時,△恒成立,

,

由消去得,△恒成立,

則

.

所以,

當(dāng)直線的斜率不存在時,直線的方程為,

此時,,,

所以的最小值為.