Question

已知是橢圓E：的兩個(gè)焦點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)，直線y＝上到焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂距離之和最小的點(diǎn)P恰好在橢圓E上，

（1）求橢圓E的方程；
（2）如圖，過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

(1)(2)AB為直徑的圓恒過這個(gè)定點(diǎn)(0,1).

試題分析：(1)求出拋物線的焦點(diǎn)得到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)(即C值),求其中一個(gè)焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再利用點(diǎn)點(diǎn)之間直線距離最短求出直線y＝上到焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂距離之和最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)（即為對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)焦點(diǎn)連線與直線y＝的交點(diǎn)）,即得橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo),便可求出a,b,c得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)直線的斜率為k,通過聯(lián)立方程式,韋達(dá)定理等用斜率k來建立圓的方程,進(jìn)而判斷關(guān)于參數(shù)k的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)(即是否有相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)使得參數(shù)k的系數(shù)為0即可)
試題解析：
（1）由拋物線的焦點(diǎn)可得：，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為
故，因此，橢圓方程為
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)。
當(dāng)AB軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為：  ①
當(dāng)AB軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為： ②
由①②知定點(diǎn)M。下證：以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)M。設(shè)直線，代入，有。設(shè)，則。
則，

在y軸上存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)定點(diǎn).