如圖,F(xiàn)
1、F
2是橢圓
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)M在x軸上,且
=
,過(guò)點(diǎn)F
2的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),且AM⊥x軸,
·
=0.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若△ABF
1的周長(zhǎng)為
,求橢圓的方程.
(1)
(2)
=1.
(1)設(shè)F
1(-c,0),F(xiàn)
2(c,0),A(x
0,y
0),橢圓的離心率為e,則M
,x
0=
c.
∵
=e,∴|AF
1|=a+ex
0.同理,|AF
2|=a-ex
0.
∵
·
=0,∴AF
1⊥AF
2,∴|AF
1|
2+|AF
2|
2=|F
1F
2|
2,
∴(a+ex
0)
2+(a-ex
0)
2=4c
2,即a
2+e
2=2c
2.
∵x
0=
c,∴a
2+e
2·
c
2=2c
2,∴1+
e
4=2e
2,即3e
4-8e
2+4=0,
∴e
2=
或2(舍),∴橢圓的離心率e=
.
(2)∵△ABF
2的周長(zhǎng)為4
,∴4a=4
,∴a=
.又
=
,∴c=2,∴b
2=2.
∴橢圓方程為
=1.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
已知
是橢圓E:
的兩個(gè)焦點(diǎn),拋物線
的焦點(diǎn)為橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn),直線y=
上到焦點(diǎn)F
1,F(xiàn)
2距離之和最小的點(diǎn)P恰好在橢圓E上,
(1)求橢圓E的方程;
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)
的動(dòng)直線
交橢圓于A、B兩點(diǎn),是否存在定點(diǎn)M,使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
已知曲線E:ax
2+by
2=1(a>0,b>0),經(jīng)過(guò)點(diǎn)M
的直線l與曲線E交于點(diǎn)A、B,且
=-2
.
(1)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2),求曲線E的方程;
(2)若a=b=1,求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
如圖,已知△OFQ的面積為S,且
·
=1.設(shè)|
|=c(c≥2),S=
c.若以O(shè)為中心,F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q,當(dāng)|
|取最小值時(shí),求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)且一個(gè)方向向量
d=(1,1).橢圓C:
=1(m>1)的左焦點(diǎn)為F
1.若直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),滿(mǎn)足
·
=0,求實(shí)數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓
=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則
·
的最大值為_(kāi)_______.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
橢圓
=1的焦點(diǎn)為F
1、F
2,點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)∠F
1PF
2為鈍角時(shí),求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x
0的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
已知橢圓
和雙曲線
有相同的焦點(diǎn)
,點(diǎn)
為橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),則
的值為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
如圖,F
1,F
2是橢圓C
1:
+y
2=1與雙曲線C
2的公共焦點(diǎn),A,B分別是C
1,C
2在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF
1BF
2為矩形,則C
2的離心率是( )
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