在三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,側(cè)面ABB
1A
1為矩形,AB=1,AA
1=
,D為AA
1中點,BD與AB
1交于點O,CO丄側(cè)面ABB
1A
1.(Ⅰ)證明:BC丄AB
1;
(Ⅱ)若OC=OA,求二面角C
1-BD-C的余弦值.
(Ⅰ)因為
是矩形,推出
,
又
,得到
,所以,得到
,得到
(Ⅱ)二面角
的余弦值為
.
試題分析:(Ⅰ)因為
是矩形,
為
中點,
,
,
,
所以在直角三角形
中,
,
在直角三角形
中,
,
所以
=
,
又
,
,
所以在直角三角形
中,故
,
即
, 4分
又因為
,
,
所以
所以,
,
,
故
6分
(Ⅱ)解法一:
如圖,由(Ⅰ)可知,
兩兩垂直,分別以
為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標(biāo)系
.
在RtDABD中,可求得
,
,
,
在RtDABB
1中,可求得
,
故
,
,
,
所以
,
,
可得,
8分
設(shè)平面
的法向量為
,則
,
即
,
取
,則
, 10分
又
,
故
,
所以,二面角
的余弦值為
12分
解法二:連接
交
于
,連接
,
因為
,所以
,又
,
所以
,故
所以
為二面角
的平面角 8分
,
,
,
,
,
在RtDCOB
1中,
, 10分
又
,
故二面角
的余弦值為
. 12分
點評:典型題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計算。在計算問題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計算”的步驟,利用空間向量,省去繁瑣的證明,也是解決立體幾何問題的一個基本思路。注意運用轉(zhuǎn)化與化歸思想,將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
如果三個平面把空間分成六個部分,那么這三個平面的位置關(guān)系是 。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
關(guān)于兩條不同的直線
,
與兩個不同的平面
,
,下列正確的是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
在正三角形
中,
、
、
分別是
、
、
邊上的點,滿足
(如圖1).將△
沿
折起到
的位置,使二面角
成直二面角,連結(jié)
、
(如圖2)
(Ⅰ)求證:
⊥平面
;
(Ⅱ)求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖所示,已知正方形
和矩形
所在的平面互相垂直,
是線段
的中點。
(1)證明:
∥平面
(2)求異面直線
與
所成的角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在正方體
中,
是
的中點.
(1)求證:
平面
;
(2)求證:平面
平面
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖所示的幾何體中,四邊形
為矩形,
為直角梯形,且
=
= 90°,平面
平面
,
,
(1)若
為
的中點,求證:
平面
;
(2)求平面
與平面
所成銳二面角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
長方體
中,底面
是正方形,
,
是
上的一點.
⑴求異面直線
與
所成的角;
⑵若
平面
,求三棱錐
的體積;
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