Question

【題目】已知[x）表示大于x的最小整數(shù)，例如[3）=4，[﹣1，3）=﹣1，下列命題中正確的是（ ） ①函數(shù)f（x）=[x）﹣x的值域是（0，1]
②若{an}是等差數(shù)列，則{[an）}也是等差數(shù)列
③若{an}是等比數(shù)列，則{[an）}也是等比數(shù)列
④若x∈（1，2017），則方程[x）﹣x=sin x有1007個(gè)根．
A.②
B.③④
C.①
D.①④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：對(duì)①，當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，[x）=x+1，即[x）﹣x=1，當(dāng)x不為整數(shù)時(shí)，0＜[x）﹣x＜1，所以函數(shù)f（x）=[x）﹣x的 值域是（0，1]即①對(duì)； 對(duì)②，當(dāng)數(shù)列{an}是整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，則數(shù)列{[an）}也是等差數(shù)列；當(dāng){an}不是整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，則數(shù)列{[an）}不是等差數(shù)列．
例如：數(shù)列{an}：0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0，1.1；那么數(shù)列
{[an）}：1，1，1，1，1，1，2，2顯然不是等差數(shù)列．故②錯(cuò)；
對(duì)③，可取等比數(shù)列{an}：1，2，4，8，16；則數(shù)列{[an）}為：2，3，5，9，17顯然不是等比數(shù)列，故③錯(cuò)；
對(duì)④，因?yàn)閤∈（1，2017），函數(shù)f（x）=[x）﹣x=sin x的周期T=4，在（1，5]內(nèi)有兩個(gè)根，一個(gè)根x∈（4，5），另一個(gè)根x=5．因此方程[x）﹣x=sin x在區(qū)間（1，2017）內(nèi)共有504×2﹣1=1007個(gè)根．
故④對(duì)．
故選：D．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式），需要了解通項(xiàng)公式：才能得出正確答案．