設(shè)f(x)=x2+a.記f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),n=1,2,3,…,集合M={a∈R|對(duì)所有正整數(shù)n,≤2}.
證明:M=[-2,].
【答案】分析:討論a,如果a<-2,則=|a|>2,a∉M,如果當(dāng)0≤a≤時(shí),,當(dāng)-2≤a<0時(shí),≤|a|,利用數(shù)學(xué)歸納法可證明,如果a>時(shí),當(dāng)n>時(shí),an+1>n(a-)+a>2-a+a=2,即fn+1(0)>2,從而可證得結(jié)論.
解答:證明:(1)如果a<-2,則=|a|>2,a∉M.  …(5分)
(2)如果-2≤a≤,由題意,f1(0)=a,fn(0)=(fn-1(0))2+a,n=2,3,….則
①當(dāng)0≤a≤時(shí),,(?n≥1).
事實(shí)上,當(dāng)n=1時(shí),=|a|≤,
設(shè)n=k-1時(shí)成立(k≥2為某整數(shù)),則對(duì)n=k,2+a≤(2+=
②當(dāng)-2≤a<0時(shí),≤|a|,(?n≥1).
事實(shí)上,當(dāng)n=1時(shí),≤|a|,
設(shè)n=k-1時(shí)成立(k≥2為某整數(shù)),則對(duì)n=k,有-|a|=a≤(fk-1(0))2+a≤a2+a
注意到當(dāng)-2≤a<0時(shí),總有a2≤-2a,即a2+a≤-a=|a|.從而有≤|a|.
由歸納法,推出[-2,]⊆M.…(15分)
(3)當(dāng)a>時(shí),記an=fn(0),則對(duì)于任意n≥1,an>a>且an+1=fn+1(0)=f(fn(0))=f(an)=+a.
對(duì)于任意n≥1,an+1-an=-an+a=(an-2+a-≥a-.則an+1-an≥a-
所以,an+1-a=an+1-a1≥n(a-).當(dāng)n>時(shí),an+1>n(a-)+a>2-a+a=2,即fn+1(0)>2.
因此a∉M.
綜合(1),(2),(3),我們有M=[-2,].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了歸納推理,以及分類討論的數(shù)學(xué)思想,同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.
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設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=x2+a|lnx-1|.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;
(2)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值.

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設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=x2+a|lnx-1|
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;
(2)當(dāng)a=3時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值.

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8、設(shè)f(x)和g(x)是定義在同一區(qū)間[a,b]上的兩個(gè)函數(shù),若對(duì)任意的x∈[a,b],都有|f(x)-g(x)|≤1,則稱f(x)和g(x)在[a,b]上是“密切函數(shù)”,[a,b]稱為“密切區(qū)間”,設(shè)f(x)=x2-3x+4與g(x)=2x-3在[a,b]上是“密切函數(shù)”,則它的“密切區(qū)間”可以是(  )

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設(shè)f(x)=x2+a.記f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),n=1,2,3,…,集合M={a∈R|對(duì)所有正整數(shù)n,
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fn(0) 
  
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≤2}.
證明:M=[-2,
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].

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