【題目】已知(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+...+an(x-1)n ,(其中 ).
(1)求 a0 及Sn=a1+a2+...+an ;
(2)試比較 Sn 與(n-2)2n+2n2 的大小,并用數(shù)學歸納法給出證明過程.

【答案】
(1)

【解答】取 x=1 ,則a0=2n ;

取 x=2 ,a0+a1+...+an=3n , 所以Sn=a1+a2+...+an=3n-2n


(2)

【解答】

要比較 Sn 與 (n-2)2n+2n2 的大小,即比較 3n 與(n-1)2n+2n2 的大小.

當 n=1 時,3n>(n-1)2n+2n2 ;

當 n=2,3 時, 3n<(n-1)2n+2n2 ;

當 n=4,5 時, 3n>(n-1)2n+2n2 ;

猜想:當 時, 3n>(n-1)2n+2n2 ,下面用數(shù)學歸納法證明:

由上述過程可知, n=4 時結(jié)論成立;

假設當n=k( ) 時結(jié)論成立,即 3k>(k-1)2k+2k2

兩邊同乘以3得:3k+1>3(k+1)2k+6k2=k2k+1+2(k+1)2+[(k-3)2k+4k2-4k-2]

時,(k-3)2k>0 , ,所以(k-3)2k +4k2-4k-2>0

所以3k+1>k2k+1+2(k+1)2 ,即 n=k+1 時結(jié)論也成立.

時, 3n>(n-1)2n+2n2 成立.

綜上所述,當 n=1 或 時, 3n>(n-1)2n+2n2 ;

當 n=2,3 時, 3n<(n-1)2n+2n2 .


【解析】本題主要考查了歸納推理,解決問題的關鍵是(1)采用賦值法,令 ,右邊= =左邊= , 也采用賦值法,令 ;
(2)根據(jù)(1)得到 ,等于比較 的大小,首先賦幾個特殊值,采用不完全歸納法,得到答案,然后再用數(shù)學歸納法證明.
【考點精析】利用歸納推理對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理.

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