Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，是橢圓上一點(diǎn)，記直線的斜率為、，且有.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)和，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)可得，由，設(shè)根據(jù)，即可求出，，從而得到橢圓方程；

（2）由題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元由根的判別式大于零得到，設(shè)可得由得，可得，即可得到，從而得解；

解：（1）依題意， 拋物線的焦點(diǎn)為，則，且

，設(shè)，則有，即

，

，

即橢圓的方程為.

（2）由題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.

由消去，得

設(shè)，則是方程（*）的兩根，

所以，即①

且

由得，當(dāng)時(shí)滿足題意；

當(dāng)時(shí)，

由點(diǎn)在橢圓上，則，

即，

再由①和，得

綜上：

.