【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0),短軸長2,兩焦點分別為F1 , F2 , 過F1的直線交橢圓C于M,N兩點,且△F2MN的周長為8.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l與橢圓C相交于A,B點,點D為橢圓C上一點,四邊形AOBD為矩形,求直線l的方程.
【答案】
(1)
解:由題意可得:2b=2,4a=8,解得b=1,a=2.
∴橢圓C的方程為 +y2=1
(2)
解:由題意可設(shè)直線l的方程為:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立 ,化為:(1+4k2)x2+8km+4m2﹣4=0,△>0.
∴x1x2= ,x1+x2= .
∵OA⊥OB,∴ =x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,化為:k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0.
∴k2× +km× +m2=0.
化為:m2=4k2.
設(shè)線段AB的中點G(x0,y0),則x0= = ,y0= +m= .
∴D ,代入橢圓方程可得: +4× =4,
化為:16k2m2+4m2=1+8k2+16k4,
把m2=4k2代入上述方程可得:3m4+2m2﹣1=0.
解得m= ,解得k= .
∴直線l的方程為y= x
【解析】(1)由題意可得:2b=2,4a=8,解得b,a.可得橢圓C的方程.(2)由題意可設(shè)直線l的方程為:y=kx+m,A(x1 , y1),B(x2 , y2).與橢圓方程聯(lián)立化為:(1+4k2)x2+8km+4m2﹣4=0,△>0.由OA⊥OB,可得 =x1x2+y1y2=0,即k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0.利用根與系數(shù)的關(guān)系化為:m2=4k2 . 設(shè)線段AB的中點G(x0 , y0),則x0= ,y0 . 可得D坐標代入橢圓方程解出即可得出.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y=loga(x+2)﹣1(a>0,a≠1)的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny+1=0上,其中m>0,n>0,則 + 的最小值為( )
A.3+2
B.3+2
C.7
D.11
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓與坐標軸交于(如圖).
(1)點是圓上除外的任意點(如圖1),與直線交于不同的兩點,求的最小值;
(2)點是圓上除外的任意點(如圖2),直線交軸于點,直線交于點.設(shè)的斜率為的斜率為,求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為﹣3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求過點A(2,2)的切線方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列各對函數(shù)中,相同的是( )
A.f(x)=lgx2 , g(x)=2lgx
B.f(x)=lg ,g(x)=lg(x+1)﹣lg(x﹣1)
C.f(u)= ,g(v)=
D.f(x)=x,g(x)=
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=x|x﹣a|+2x.
(1)若a=3,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值;
(2)若存在a∈(2,4],使得關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)有三個不相等的實數(shù)解,求實數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,且an+2=|an+1|﹣an , n∈N* , 記{an}的前n項和為Sn , 則S100= .
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