Question

【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+pn+q（p，q∈R），且a2 ， a3 ， a5成等比數(shù)列．
（1）求p，q的值；
（2）若數(shù)列{bn}滿足an+log2n=log2bn ， 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）

解法一：

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1+p+q，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1…（2分）

=n2+pn+q﹣[（n﹣1）2+p（n﹣1）+q]

=2n﹣1+p．

∵{an}是等差數(shù)列，

∴1+p+q=2×1﹣1+p，得q=0．

又a2=3+p，a3=5+p，a5=9+p

∵a2，a3，a5成等比數(shù)列，

∴ ，即（5+p）2=（3+p）（9+p），

解得p=﹣1．

解法二：

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

則 ．

∵ ，

∴ ， ，q=0．

∴d=2，p=a1﹣1，q=0．

∵a2，a3，a5成等比數(shù)列，

∴ ，

即 ．

解得a1=0．

∴p=﹣1．

（2）

解法一：

由（1）得an=2n﹣2．

∵an+log2n=log2bn，

∴ ．

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn﹣1+bn

=40+2×41+3×42+…+（n﹣1）4n﹣2+n4n﹣1，①

，②

①﹣②得 = = ．

∴

解法二：

由（1）得an=2n﹣2．

∵an+log2n=log2bn，

∴ ．

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn﹣1+bn

=40+2×41+3×42+…+（n﹣1）4n﹣2+n4n﹣1．

由 ，

兩邊對(duì)x取導(dǎo)數(shù)得，

x0+2x1+3x2+…+nxn﹣1= ．

令x=4，得 ．

∴

【解析】解法一：（1）a1=S1=1+p+q，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1+p，由此求出q=0，由a2 ， a3 ， a5成等比數(shù)列，得p=﹣1．（2）an=2n﹣2， ，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．
解法二：（1）由 ，得d=2，p=a1﹣1，q=0．由a2 ， a3 ， a5成等比數(shù)列，得p=﹣1．（2）an=2n﹣2. ，由 ，兩邊對(duì)x取導(dǎo)數(shù)得，由此能求出 ．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和和等差數(shù)列的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；在等差數(shù)列{an}中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列．