Question

【題目】已知函數(shù) ，

（1）求的取值范圍，使在閉區(qū)間上存在反函數(shù)；

（2）當時，函數(shù)的最小值是關于的函數(shù)，求的最大值及其相應的值；

（3）對于，研究函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像公共點的個數(shù)，并寫出公共點的橫坐標.

Answer 1

【答案】(1)或；（2）當 時，最大值；

（3）當時，公共點有個，橫坐標為；

當時，公共點有2個，橫坐標為；

當或或時，公共點有個，橫坐標為，

當或時，公共點有個，橫坐標為.

【解析】

（1）根據(jù)在閉區(qū)間上存在反函數(shù)，則在上單調(diào)，從而得到關于的不等式，求出的范圍；（2）動軸定區(qū)間，按照，，，分別研究函數(shù)的最小值，然后得到，在分段研究的最大值，得到答案；（3）

（1）函數(shù) 圖像的對稱軸為.

因為在閉區(qū)間上是存在反函數(shù)，

所以在閉區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，

所以得到或.

故或.

（2）函數(shù)，，圖像的對稱軸為

當，即時，在上單調(diào)遞增，

所以；

當，即 時，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當，即時，在上單調(diào)遞減，

所以，

當時，單調(diào)遞增，所以，

當時，，開口向下，對稱軸為，

所以在時候有最大值為，

當時，單調(diào)遞減，在時，有最大值，，

綜上所述，當 時，有最大值，為.

（3）公共點的橫坐標滿足 .

即是方程 的實數(shù)解.

設，

則直線 與有公共點時的橫坐標與上述問題等價.

①當 或時，；

解方程 即，

得， ；

②當 時，.

解方程即，

得或；

若，則或，

當時，公共點有個，橫坐標為；

當時，公共點有2個，橫坐標為.

若，則

若，則

當或或時，和不在對應的的范圍內(nèi)，

則公共點有個，橫坐標為，

當或時，和都在對應的的范圍內(nèi)，且不相等，

則公共點有個，橫坐標為

綜上所述，

當時，公共點有個，橫坐標為；

當時，公共點有2個，橫坐標為；

當或或時，公共點有個，橫坐標為，

當或時，公共點有個，橫坐標為.