Question

【題目】已知?jiǎng)訄AC過(guò)定點(diǎn)F（2，0），且與直線(xiàn)x=-2相切，圓心C的軌跡為E，

（1）求圓心C的軌跡E的方程；

（2）若直線(xiàn)l交E與P，Q兩點(diǎn)，且線(xiàn)段PQ的中心點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），求|PQ|．

Answer 1

【答案】（1）y2=8x（2）

【解析】

根據(jù)題意，動(dòng)圓的圓心C到定點(diǎn)F距離等于圓心C到直線(xiàn)的距離，可判斷圓心C的軌跡為拋物線(xiàn)，由拋物線(xiàn)定義即可求得E的軌跡方程。

設(shè)出直線(xiàn)斜率，及P、Q的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)利用點(diǎn)差法求出斜率，可得直線(xiàn)方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，利用弦長(zhǎng)公式即可求出。

解：（1）由題設(shè)知，點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到直線(xiàn)x=-2的距離，

所以點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)x=-2為基準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，

所以所求E的軌跡方程為y2=8x．

（2）由題意已知，直線(xiàn)l的斜率顯然存在，

設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，

則有，

兩式作差得即得，

因?yàn)榫�(xiàn)段PQ的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），所以k=4，

則直線(xiàn)l的方程為y-1=4（x-1），即y=4x-3，

與y2=8x聯(lián)立得16x2-32x+9=0，

得，

．