【題目】如圖,在菱形中,沿對角線將△折起,使之間的距離為若分別為線段上的動點
(1)求線段長度的最小值;
(2)當線段長度最小時,求直線與平面所成角的正弦值
【答案】(1);(2).
【解析】
試題取中點,連結(jié),,則,,因為,所以,所以為直角三角形所以,所以平面.
以分別為軸
(1)設(shè)出點的坐標,由空間向量計算求出,由二次函數(shù)性質(zhì)求最小值即可.
(2)由空間向量求出平面的法向量與向量,即可求之.
試題解析:取中點,連結(jié),,則,
,,
因為,所以,
所以為直角三角形所以,
所以平面. 2分
以分別為軸,建立如圖
所示空間直角坐標系,則, 3分
(1)設(shè),
則
, 5分
當時,長度最小值為. 6分
(2)由(1)知,設(shè)平面的一個法向量為,
由,得,化簡得,
取,設(shè)與平面所成角為,則.
故直線PQ與平面ACD所成角的正弦值為. 10分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《烏鴉喝水》是《伊索寓言》中一個寓言故事。通過講述一只烏鴉喝水的故事,告訴人們遇到困難要運用智慧、認真思考才能讓問題迎刃而解的道理。如圖2所示,烏鴉想喝水,發(fā)現(xiàn)有一個錐形瓶,上面部分是圓柱體,下面部分是圓臺,瓶口直徑為3厘米,瓶底直徑為9厘米,瓶口距瓶頸為厘米,瓶頸到水位線距離和水位線到瓶底距離均為厘米現(xiàn)將1顆石子投入瓶中,發(fā)現(xiàn)水位線上移厘米,若只有當水位線到達瓶口時,烏鴉才能喝到水,則烏鴉共需要投入的石子數(shù)量至少是?(石子體積均視為一致)
圓臺體積公式:,其中,為圓臺高,為圓臺下底面半徑,為圓臺上底面半徑( )
A.2顆B.3顆C.4顆D.5顆
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【題目】河圖是上古時代神話傳說中伏羲通過黃河中浮出龍馬身上的圖案,與自己的觀察,畫出的“八卦”,而龍馬身上的圖案就叫做“河圖”.把一到十分成五組,如圖,其口訣:一六共宗,為水居北;二七同道,為火居南;三八為朋,為木居?xùn)|;四九為友,為金居西;五十同途,為土居中.“河圖”將一到十分成五行屬性分別為金,木,水,火,土的五組,在五行的五種屬性中,五行相克的規(guī)律為:金克木,木克土,土克水,水克火,火克金;五行相生的規(guī)律為:木生火,火生土,土生金,金生水,水生木.現(xiàn)從這十個數(shù)中隨機抽取3個數(shù),則這3個數(shù)字的屬性互不相克的條件下,取到屬性為土的數(shù)字的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知的兩個頂點的坐標分別為,,且所在直線的斜率之積等于,記頂點的軌跡為.
(Ⅰ)求頂點的軌跡的方程;
(Ⅱ)若直線與曲線交于兩點,點在曲線上,且為的重心(為坐標原點),求證:的面積為定值,并求出該定值.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知圓C滿足:圓心在軸上,且與圓相外切.設(shè)圓C與軸的交點為M,N,若圓心C在軸上運動時,在軸正半軸上總存在定點,使得為定值,則點的縱坐標為_________.
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【題目】已知為等差數(shù)列,為等比數(shù)列,公比為.令.
(1)若.
①當,求數(shù)列的通項公式;
②設(shè),,試比較與的大小?并證明你的結(jié)論.
(2)問集合中最多有多少個元素?并證明你的結(jié)論.
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【題目】第18屆國際籃聯(lián)籃球世界杯(世界男子籃球錦標賽更名為籃球世界杯后的第二屆世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中國的北京、廣州、南京、上海、武漢、深圳、佛山、東莞八座城市舉行.中國隊12名球員在第一場和第二場得分的莖葉圖如圖所示,則下列說法正確的是( )
A.第一場得分的中位數(shù)為B.第二場得分的平均數(shù)為
C.第一場得分的極差大于第二場得分的極差D.第一場與第二場得分的眾數(shù)相等
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【題目】如圖,在中,,點為的中點,點為線段垂直平分線上的一點,且,固定邊,在平面內(nèi)移動頂點,使得的內(nèi)切圓始終與切于線段的中點,且、在直線的同側(cè),在移動過程中,當取得最小值時,的面積為( )
A.B.C.D.
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程(為參數(shù)).
(1)求曲線在直角坐標系中的普通方程;
(2)以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,當曲線截直線所得線段的中點極坐標為時,求直線的傾斜角.
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