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已知橢圓長軸的左右端點分別為A,B,短軸的上端點為M,O為橢圓的中心,F為橢圓的右焦點,且·=1,||=1.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若直線l交橢圓于P,Q兩點,問:是否存在直線l,使得點F恰為△PQM的垂心?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

(Ⅰ)橢圓方程為;(Ⅱ)滿足題意的直線存在,方程為:.

解析試題分析:(Ⅰ)求橢圓的標準方程,可采用待定系數法求方程, 設橢圓方程為,利用條件求的值,從而得方程,因為||=1,即,再由·=1,寫出,的坐標,從而求出的值,可得方程;(Ⅱ)此題屬于探索性命題,解此類問題,一般都假設成立,作為條件,能求出值,則成立,若求不出值,或得到矛盾的結論,則不存在,此題假設存在直線符合題意,設出直線方程,根據直線與二次曲線位置關系的解題方法,采用設而不求的解題思維,設的坐標,根據根與系數關系,來求出直線方程,值得注意的是,當方程不恒有交點時,需用判別式討論參數的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)設橢圓方程為,所以,又因為,所以,則橢圓方程為;
(Ⅱ)假設存在直線符合題意。由題意可設直線方程為:,代入得:,,設,則,,   解得: , 當時,三點共線,所以,所以,所以滿足題意的直線存在,方程為:.
考點:本題考查橢圓的方程,直線與橢圓的位置關系,考查學生的運算能力、化簡能力以及數形結合的能力.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知三點P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)。
(1)求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓的標準方程;
(2)設點P、F1、F2關于直線y=x的對稱點分別為,求以為焦點且過點的雙曲線的標準方程。

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知是拋物線上的點,的焦點, 以為直徑的圓軸的另一個交點為.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)過點且斜率大于零的直線與拋物線交于兩點,為坐標原點,的面積為,證明:直線與圓相切.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知橢圓C的中心在原點,焦點F在軸上,離心率,點在橢圓C上.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若斜率為的直線交橢圓、兩點,且、成等差數列,點M(1,1),求的最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知雙曲線(a>0,b>0)的離心率,過點A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點的距離是
(Ⅰ)求雙曲線的方程及漸近線方程;
(Ⅱ)若直線y=kx+5 (k≠0)與雙曲線交于不同的兩點C、D,且兩點都在以A為圓心的同一個圓上,求k的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

拋物線M: 的準線過橢圓N: 的左焦點,以坐標原點為圓心,以t(t>0)為半徑的圓分別與拋物線M在第一象限的部分以及y軸的正半軸相交于點A與點B,直線AB與x軸相交于點C.

(1)求拋物線M的方程.
(2)設點A的橫坐標為x1,點C的橫坐標為x2,曲線M上點D的橫坐標為x1+2,求直線CD的斜率.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知點,是拋物線上相異兩點,且滿足
(Ⅰ)若的中垂線經過點,求直線的方程;
(Ⅱ)若的中垂線交軸于點,求的面積的最大值及此時直線的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的長軸長為4,且過點
(1)求橢圓的方程;
(2)設、是橢圓上的三點,若,點為線段的中點,、兩點的坐標分別為,求證:

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

以直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且兩個坐標系取相等的長度單位.已知直線的參數方程為 (t為參數,0<a<),曲線C的極坐標方程為
(1)求曲線C的直角坐標方程;
(2)設直線l與曲線C相交于A、B兩點,當a變化時,求|AB|的最小值.

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