Question

【題目】已知數(shù)列中，，且，其前項和為，且為等比數(shù)列.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）若，記數(shù)列的前項和為.設(shè)是整數(shù)，問是否存在正整數(shù)，使等式成立？若存在，求出和相應(yīng)的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案見解析.

【解析】

（Ⅰ）首先求得前n項和，然后利用通項公式與前n項和的公式即可確定數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）首先求得數(shù)列的通項公式，然后分類討論和兩種情況即可確定和相應(yīng)的值是否存在.

（Ⅰ）由題意可得：，結(jié)合題意可知：

故：.

（Ⅱ）當(dāng)時，.而，

由此，當(dāng)時，，

從而等式即為，解得，它不是整數(shù)，不符合題意.

當(dāng)時，.

則等式即為，解得.

由是整數(shù)，得是5的因數(shù).而當(dāng)且僅當(dāng)時，是整數(shù)，由此.

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時，存在正整數(shù)，使等式成立.