已知點是橢圓:上一點,分別為的左右焦點,,的面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設,過點作直線,交橢圓異于的兩點,直線的斜率分別為,證明:為定值.
(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.
解析試題分析:本題考查橢圓的定義、余弦定理及韋達定理的應用.第一問是利用三角形面積公式、余弦定理、橢圓的定義,三個方程聯(lián)立,解出,再根據(jù)的關系求,本問分析已知條件是解題的關鍵;第二問是直線與橢圓相交于兩點,先設出兩點坐標,本題的突破口是在消參后的方程中找出兩根之和、兩根之積,整理斜率的表達式,但是在本問中需考慮直線的斜率是否存在,此題中蘊含了分類討論的思想的應用.
試題解析:(Ⅰ)在中,
由,得.
由余弦定理,得
,
從而,即,從而,
故橢圓的方程為. 6分
(Ⅱ)當直線的斜率存在時,設其方程為,
由,得. 8分
設,,,.
從而. 11分
當直線的斜率不存在時,得,得.
綜上,恒有. 12分
考點:1.橢圓的定義;2.韋達定理;3.直線的斜率.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線與雙曲線有公共焦點,點是曲線在第一象限的交點,且.
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)以雙曲線的另一焦點為圓心的圓與直線相切,圓:.過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和,設被圓截得的弦長為,被圓截得的弦長為,問:是否為定值?如果是,請求出這個定值;如果不是,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓:,離心率為,焦點過的直線交橢圓于兩點,且的周長為4.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ) 直線與y軸交于點P(0,m)(m0),與橢圓C交于相異兩點A,B且.若,求m的取值范圍。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設橢圓的左焦點為,離心率為,過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(1) 求橢圓方程.
(2) 過點的直線與橢圓交于不同的兩點,當面積最大時,求.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標系中,、分別是橢圓的頂點,過坐標原點的直線交橢圓于、兩點,其中在第一象限.過作軸的垂線,垂足為.連接,并延長交橢圓于點.設直線的斜率為.
(Ⅰ)當直線平分線段時,求的值;
(Ⅱ)當時,求點到直線的距離;
(Ⅲ)對任意,求證:.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若在處取得極值,求的值;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)若且,函數(shù),若對于,總存在使得,求實數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點,當l的斜率為1時,坐標原點O到l的距離為.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)C上是否存在點P,使得當l繞F轉到某一位置時,有=+成立?若存在,求出所有的P的坐標與l的方程;若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓C: (a>b>0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓上.
(I)求橢圓C的方程;
(II)若斜率為k的直線過點M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點.試探討k為何值時,三角形OAB為直角三角形.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線上,A,C關于軸對稱,BD平行于拋物線在點C處的切線。
(Ⅰ)證明:AC平分;
(Ⅱ)若點A坐標為,四邊形ABCD的面積為4,求直線BD的方程。
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com