Question

如圖,三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都是2,又AA₁⊥平面ABC,D,E分別是AC,CC₁的中點(diǎn).

(1)求證:AE⊥平面A₁BD.
(2)求二面角D-BA₁-A的余弦值.
(3)求點(diǎn)B₁到平面A₁BD的距離.

Answer 1

(1)見解析  (2)   (3)

由AA₁⊥平面ABC可知,平面ABC⊥平面ACC₁A₁,故可考慮建立空間直角坐標(biāo)系解決問題.
解：(1)以D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,過D作AC的垂線為y軸,DB所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

則A(1,0,0),C(-1,0,0),E(-1,-1,0),A₁(1,-2,0),C₁(-1,-2,0),B(0,0,),B₁(0,-2,),
=(-2,-1,0),=(-1,2,0),=(0,0,-).∴·=2-2+0=0,
∴AE⊥A₁D,·=0,∴AE⊥BD.
又A₁D與BD相交于D,∴AE⊥平面A₁BD.
(2)設(shè)平面DA₁B的一個(gè)法向量為n₁=(x₁,y₁,z₁),
由⇒取n₁=(2,1,0).
設(shè)平面AA₁B的一個(gè)法向量為n₂=(x₂,y₂,z₂),
易得=(-1,2,),=(0,2,0),
則由⇒
取n₂=(3,0,).cos<n₁,n₂>==.
故二面角D-BA₁-A的余弦值為.
(3)=(0,2,0),平面A₁BD的法向量取n₁=(2,1,0),則點(diǎn)B₁到平面A₁BD的距離為d=||=.