Question

如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，平面，，，分別為，的中點(diǎn)，．

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）

試題分析：本題主要考查線面位置關(guān)系的證明、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，法一：利用E、F為PC、OC中點(diǎn)，得，由于平面，所以，利用面面垂直的判定得平面平面，因?yàn)镻O為等腰三角形底邊上的高，所以，由于AD是面ABCD與面PAD的交線，所以平面，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040723374582.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面，所以EF垂直面內(nèi)的線AB，在中根據(jù)已知的邊長(zhǎng)可知，所以利用線面垂直的判定得平面，從而得；第二問(wèn)，作出輔助線HE，AE，利用線面垂直平面ABCD，先得到面面垂直平面平面，得平面POC，所以AH垂直面內(nèi)的線PC，在等腰三角形APC中，，利用線面垂直得平面AHE，則，得出為二面角的平面角，在三角形內(nèi)解出的正弦值，再求；法二：第一問(wèn)，要證明，只需證明，根據(jù)已知條件找出垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)邊長(zhǎng)寫出各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出向量和的坐標(biāo)，再計(jì)算數(shù)量積；第二問(wèn)，利用第一問(wèn)建立的空間直角坐標(biāo)系，先計(jì)算出平面PAC和平面POC的法向量，利用夾角公式直接求夾角的余弦值.
試題解析：解法一：（1）設(shè)，連接,
分別是、的中點(diǎn)，則，…1分
已知平面，平面，所以平面平面，
又，為的中點(diǎn)，則，
而平面平面，
所以平面，
所以平面，
又平面，所以；     3分
在中，，；
又，所以平面，
又平面，所以.           6分
（2）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，連接，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040724793379.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面平面，
平面平面，所以平面，
平面，所以；
在中，，是中點(diǎn)，故；
所以平面，則．
所以是二面角的平面角．  10分
設(shè)，
而，
，則，
所以二面角的余弦值為．                          12分
解法二：
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040723046406.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以平面平面，
又，是的中點(diǎn)，則，且平面平面，
所以平面．                2分
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

 4分
，，所以．  6分
（2），，
設(shè)平面的法向量為，
則
令，得．     8分
又，，
所以平面的法向量，              10分
，
所以二面角的余弦值為．              12分