設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0,f(0)f(1)＞0，求證

(1)方程f(x)=0有實根；

(2)-2＜＜-1；

(3)設(shè)x1,x2是方程f(x)=0的兩個實根，則≤|x1-x2|＜.

證明：(1)若a=0，∴b=-c,f(0)f(1)=c(3a+3b+c)=-c2≤0,

    與已知矛盾，所以a≠0.

    方程3ax2+2bx+c=0的判別式

Δ=4(b2-3ac)，由條件a+b+c=0，消去b，得Δ=4(a2+c2-ac)=4［(a-c)2+c2］＞0.

    故方程f(x)=0有實根.

(2)由f(0)f(1)＞0，得c(3a+2b+c)＞0.

    由條件a+b+c=0,消去c，得(a+b)(2a+b)＜0.

∵a2＞0,∴(1+)(2+)＜0.故-2＜＜-1.

(3)由條件，知

x1+x2=-,x1x2==-,

∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2

=(+)2+.

∵-2＜＜-1,

∴≤(x1-x2)2＜.

    故≤|x1-x2|＜

練習冊系列答案
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設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)>0，f(1)>0

求證：（1）a>0，－2<<－1

（2）函數(shù)f(x)在（0，1）內(nèi)有零點。

 

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(20)設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)f(1)＞0，求證：

    (Ⅰ)方程f(x)=0有實根；

    (Ⅱ)-2＜＜-1；

    (Ⅲ)設(shè)x1，x2是方程f(x)=0的兩個實根，則≤|x1-x2|＜．

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