設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c若a+b+c=0,f(0)＞0,f(1)＞0,求證：

(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1;

(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

證明:(Ⅰ)由f(0)＞0,且f(1)＞0得：

c＞0且3a+2b+c＞0.∵c=-a-b＞0,

∴2a+b＞0,  (1)

-a-b＞0.       (2)

兩式相加，得：a＞0.

    由(1)得＞-2,由(2)得＜-1,

∴-2＜＜-1.

(Ⅱ)由于a＞0,∴f(x)的圖象是開口向上的拋物線.

    又∵f(0)＞0.f(1)＞0拋物線的對(duì)稱軸滿足：0＜＜-＜＜1.

∴要證明f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根，只需證明：

Δ=4b2-12ac＞0,即可.

    把c=-a-b  代入上式，即證：b2+3ab+3a2＞0,

    即證（b+a）2+a2＞0,

    由于a＞0,∴a2＞0,而(b+a)2≥0,

∴(b+a)2+a2＞0成立.

    從而方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年人教B版高中數(shù)學(xué)必修5 3.3 一元二次不等式及其解法練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)>0，f(1)>0

求證：（1）a>0，－2<<－1

（2）函數(shù)f(x)在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0.f(0)＞0，f(1)＞0，

求證： (Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；

(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

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設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)＞0,f(1)＞0,求證：

(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1;

(Ⅱ)方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(20)設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)f(1)＞0，求證：

    (Ⅰ)方程f(x)=0有實(shí)根；

    (Ⅱ)-2＜＜-1；

    (Ⅲ)設(shè)x1，x2是方程f(x)=0的兩個(gè)實(shí)根，則≤|x1-x2|＜．

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