設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2an-2n
(Ⅰ)求a1,a2
(Ⅱ)設(shè)cn=an+1-2an,證明:數(shù)列{cn}是等比數(shù)列
(Ⅲ)求數(shù)列{
n+1
2cn
}
的前n項和為Tn
(Ⅰ)∵a1=S1,2a1=S1+2,
∴a1=2,S1=2,
由2an=Sn+2n知,2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1
得an+1=sn+2n+1①,
∴a2=S1+22=2+22=6;
(Ⅱ)由題設(shè)和①式知an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n,
即cn=2n,
cn+1
cn
=2(常數(shù)),
∴{cn}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.
(Ⅲ)∵cn=an+1-2an=2n,
n+1
2cn
=
n+1
2n+1
,
∴數(shù)列{
n+1
2cn
}
的前n項和Tn=
2
22
+
3
23
+
4
24
+…+
n+1
2n+1
,
1
2
Tn=
2
23
++
4
24
+…+
n
2n+1
+
n+1
2n-2

相減得
1
2
Tn=
2
22
+
1
23
+
1
24
+
1
25
…+
n
2n+1
-
n+1
2n+2
=
1
2
+
1
23
×(1-
1
2n-1
)
1-
1
2
-
n+1
2n+2
=
3
4
-
1
2n+1
-
n+1
2n+2
,
∴Tn=
3
2
-
1
2n
-
n+1
2n+1
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,a1=2,且a2,a3,a4+1成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=
2
n•(an+2)
,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*
(Ⅰ)證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項和Sn;
(Ⅲ)證明不等式Sn+1≤4Sn,對任意n∈N*皆成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)an=
1
n
sin
25
,Sn=a1+a2+…+an,在S1,S2,…S100中,正數(shù)的個數(shù)是(  )
A.25B.50C.75D.100

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

一個等比數(shù)列的前n項之和是2n-b,那么它的前n項的各項平方之和為(  )
A.(2n-1)2B.
1
3
(2n-1)
C.4n-1D.
1
3
(4n-1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:等差數(shù)列{an}中,a4=14,a7=23.
(1)求an;
(2)將{an}中的第2項,第4項,…,第2n項按原來的順序排成一個新數(shù)列,求此數(shù)列的前n項和Gn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2+a4=6,且對任意n∈N*,函數(shù)f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1•cosx-an+2sinx滿足f′(
π
2
)=0
cn=an+
1
2an
,則數(shù)列{cn}的前n項和Sn為( 。
A.
n2+n
2
-
1
2n
B.
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C.
n2+n+2
2
-
1
2n
D.
n2+n+4
2
-
1
2n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1,則其前6項之和是(  )
A.16B.20C.33D.120

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知數(shù)列對任意的滿足=6,那么等于( )
A.165B.33C.30D.21

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同步練習(xí)冊答案