Question

【題目】已知橢圓的左焦點為，離心率．

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)已知直線交橢圓C于A，B兩點．

①若直線經(jīng)過橢圓C的左焦點F，交y軸于點P，且滿足.求證：為定值；

②若，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)離心率及焦點坐標(biāo)可得標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）①設(shè)直線方程為，則，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消去得到關(guān)于的方程，其解為.又根據(jù)向量關(guān)系得到，利用韋達(dá)定理可得此式為定值.

②設(shè)，，則，利用換元法可求面積的取值范圍，注意討論分別與坐標(biāo)軸重合時的情形.

由題設(shè)知，，所以，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

①由題設(shè)知直線斜率存在，設(shè)直線方程為，則.

設(shè)，直線代入橢圓得，

所以，，由，知

，

.

②當(dāng)直線分別與坐標(biāo)軸重合時，易知.

當(dāng)直線斜率存在且不為0時，設(shè)，，

設(shè)，直線代入橢圓得到，

所以，同理，

，

令，則

，

因為，所以，故 ，綜上.