已知點F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),動點G滿足|GF1|+|GF2|=2
2

(Ⅰ)求動點G的軌跡Ω的方程;
(Ⅱ)已知過點F2且與x軸不垂直的直線l交(Ⅰ)中的軌跡Ω于P、Q兩點.在線段OF2上是否存在點M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求實數(shù)m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(Ⅰ)由|GF1|+|GF2|=2
2
,且|F1F2|<2
2
知,動點G的軌跡是以F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)為焦點的橢圓,
設(shè)該橢圓的標準方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,c=
a2-b2

由題知c=1,a=
2
,
則b2=a2-c2=2-1=1,
故動點G的軌跡Ω的方程是
x2
2
+y2=1
.(4分)
(Ⅱ)假設(shè)在線段OF2上存在M(m,0)(0<m<1),使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形.
直線l與x軸不垂直,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)(k≠0),
x2+2y2=2
y=k(x-1)
可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
x1+x2=
4k2
1+2k2
,x1x2=
2k2-2
1+2k2
.(6分)
MP
=(x1-m,y1)
,
MQ
=(x2-m,y2)
,
PQ
=(x2-x1,y2-y1)
,其中x2-x1≠0.
由于MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形,
(
MP
+
MQ
)⊥
PQ
,則有(
MP
+
MQ
)•
PQ
=0
,(8分)
從而(x2+x1-2m,y2+y1)•(x2-x1,y2-y1)=0,
∴(x2+x1-2m)(x2-x1)+(y2+y1)(y2-y1)=0,
又y=k(x-1),
則y2-y1=k(x2-x1),y2+y1=k(x2+x1-2),
故上式變形為(x2+x1-2m)+k2(x2+x1-2)=0,(10分)
x1+x2=
4k2
1+2k2
代入上式,得(
4k2
1+2k2
-2m)+k2(
4k2
1+2k2
-2)=0
,
即2k2-(2+4k2)m=0,
m=
k2
1+2k2
(k≠0),可知0<m<
1
2

故實數(shù)m的取值范圍是(0,
1
2
)
.(13分)
練習(xí)冊系列答案
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1
2

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4
5
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5
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PM
=2
MA
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A.B.
C.D.

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