【題目】如圖,真四棱柱的底面是菱形,,,,E,M,N分別是BC,,的中點.
(1)證明:面;
(2)求平面DMN與平面所成銳角的正切值.
【答案】(1)證明見解析.(2)
【解析】
(1)由余弦定理可得,進而可得,由正棱柱的幾何特征可得,由線面垂直的判定即可得解;
(2)連接ME,由題意可得四邊形DNME為平行四邊形,DE即為平面DMN與平面的交線,由線面垂直的判定可得面,進而可得即為平面DMN與平面所成的平面角,即可得解.
(1)證明:∵在菱形ABCD中,,,且E為BC中點,
∴,∴即,
又棱柱是直四棱柱,∴平面,∴,
又平面,平面,,
∴面;
(2)連接ME,
∵E,M,N分別是BC,,的中點,
∴且,
∴且,∴四邊形DNME為平行四邊形,
從而可知:DE即為面DMN與面的交線,
∵,,,∴面,
∴且,
則即為平面DMN與平面所成的平面角,
在中,,
故平面DMN與平面所成銳角的正切值為.
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【題目】設,函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)在定義域上的單調性;
(Ⅱ)若函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行,且對任意,,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在直角坐標系,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸,取相同長度單位建立極坐標系,直線的極坐標方程為
(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程;
(2)設直線與軸的交點為,經過點的動直線與曲線交于,兩點,證明:為定值
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【題目】已知雙曲線,不與軸垂直的直線與雙曲線右支交于點,,(在軸上方,在軸下方),與雙曲線漸近線交于點,(在軸上方),為坐標原點,下列選項中正確的為( )
A.恒成立
B.若,則
C.面積的最小值為1
D.對每一個確定的,若,則的面積為定值
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【題目】已知函數(shù)在點處的切線方程為.
(1)求,;
(2)函數(shù)圖像與軸負半軸的交點為,且在點處的切線方程為,函數(shù),,求的最小值;
(3)關于的方程有兩個實數(shù)根,,且,證明:.
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【題目】我國唐代天文學家、數(shù)學家張逐曾以“李白喝酒”為題編寫了如下一道題:“李白街上走,提壺去買酒,遇店加一倍,見花喝一斗(計量單位),三遇店和花,喝光壺中酒.”問最后一次遇花時有酒________斗,原有酒________斗.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓的短軸長為2,離心率為.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)若直線l與橢圓E相切于點P(點P在第一象限內),與圓相交于點A,B,且,求直線l的方程.
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【題目】第30屆夏季奧運會將于2012年7月27日在倫敦舉行,當?shù)啬硨W校招募了8名男志愿者和12名女志愿者.將這20名志愿者的身高編成如下莖葉圖(單位:cm):若身高在180cm以上(包括180cm)定義為“高個子”,身高在180cm以下(不包括180cm)定義為“非高個子”,且只有“女高個子”才能擔任“禮儀小姐”.
(I)如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人,再從這5人中選2人,那么至少有一人是“高個子”的概率是多少?
(Ⅱ)若從所有“高個子”中選3名志愿者,用X表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數(shù),試寫出X的分布列,并求X的數(shù)學期望.
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