在四棱錐中,平面,底面為矩形,.
(Ⅰ)當(dāng)時,求證:;
(Ⅱ)若邊上有且只有一個點,使得,求此時二面角的余弦值.
(1)見解析:(2).
本試題主要考查了立體幾何中線線垂直和二面角的求解運用。
解:(Ⅰ)當(dāng)嗄時,底面ABCD為正方形,BDAC
又因為BDPABD,面PAC…………………………2分
又PC面PAC
BDPC…………………………3分

(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線
為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系,如圖所示,

B(1,0,0)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………………4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0) 
要使PQQD,只要-1+m(a-m)=0
所以1=m(a-m),……6分
由此可知時,存在點Q使得PQQD
當(dāng)且僅當(dāng)m= a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得PQQD
由此可知a=2…………………………8分
設(shè)面PDQ的法向量
解得…………………………10分
取平面PAD的法向量
的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為…………………………12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(滿分12分)長方體中,,分別是、中點。
(1)求證:;                   
(2)求二面角的正切值。

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三個平面,三條直線a,b,c共點,知:。求證: 兩兩互相垂直.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知,為兩條不同的直線,為兩個不同的平面,則下列命題是真命題的是(    )
A.
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

在空間給出下面四個命題(其中為不同的兩條直線),、為不同的兩個平面)




其中正確的命題個數(shù)有
A.1個B.2個C.3個D.4個

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)a、b是兩條不同的直線,、是兩個不同的平面,則下列說法正確的是
A.若a//b,a//,則b//B.若,a//,則a⊥
C.若,a⊥,則a//D.若以a⊥b,a⊥,b⊥,則

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)是兩條不同的直線,是一個平面,則下列命題正確的是(    )
A.若,,則B.若,,則
C.若,,則D.若,,則

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知直四棱柱的底面是直角梯形,,,分別是棱,上的動點,且,,
(Ⅰ)證明:無論點怎樣運動,四邊形都為矩形;
(Ⅱ)當(dāng)時,求幾何體的體積。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在三棱錐P—ABC中,G、H分別為PB、PC的中點,且△ABC為等腰直角三角形,∠B=90°.
⑴求證:GH∥平面ABC;
⑵求異面直線GH與AB所成的角.

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