【題目】已知橢圓的左焦點為,離心率.
(I)求橢圓C的標準方程;
(II)已知直線交橢圓C于A,B兩點.
①若直線經(jīng)過橢圓C的左焦點F,交y軸于點P,且滿足.求證:為定值;
②若,求面積的取值范圍.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】
(1)根據(jù)離心率及焦點坐標可得標準方程.
(2)①設(shè)直線方程為,則,,聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消去得到關(guān)于的方程,其解為.又根據(jù)向量關(guān)系得到,利用韋達定理可得此式為定值.
②設(shè),,則,利用換元法可求面積的取值范圍,注意討論分別與坐標軸重合時的情形.
由題設(shè)知,,所以,
所以橢圓的標準方程為
①由題設(shè)知直線斜率存在,設(shè)直線方程為,則.
設(shè),直線代入橢圓得,
所以,,由,知
,
.
②當直線分別與坐標軸重合時,易知.
當直線斜率存在且不為0時,設(shè),,
設(shè),直線代入橢圓得到,
所以,同理,
,
令,則
,
因為,所以,故 ,綜上.
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【題目】甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語,在一輪活動中,如果兩人都猜對,則“星隊”得3分;如果只有一個人猜對,則“星隊”得1分;如果兩人都沒猜對,則“星隊”得0分。已知甲每輪猜對的概率是,乙每輪猜對的概率是;每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響。各輪結(jié)果亦互不影響。假設(shè)“星隊”參加兩輪活動,求:
(Ⅰ)“星隊”至少猜對3個成語的概率;
(Ⅱ)“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學期望EX.
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【題目】設(shè)橢圓()的右焦點為,右頂點為,已知,其中為原點,為橢圓的離心率.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點的直線與橢圓交于點(不在軸上),垂直于的直線與交于點,與軸交于點,若,且,求直線的斜率.
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【題目】已知點及圓: .
(1)若直線過點且與圓心的距離為,求直線的方程.
(2)設(shè)直線與圓交于, 兩點,是否存在實數(shù),使得過點的直線垂直平分弦?若存在,求出實數(shù)的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求出函數(shù)的定義域;
(2)若當時,在上恒正,求出的取值范圍;
(3)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求出的取值范圍.
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【題目】已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|x<a},全集U=R
(1)求A∪B;
(2)若,求實數(shù)a的取值范圍
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【題目】某校研究性學習小組從汽車市場上隨機抽取輛純電動汽車調(diào)查其續(xù)駛里程(單次充電后能行駛的最大里程),被調(diào)查汽車的續(xù)駛里程全部介于公里和公里之間,將統(tǒng)計結(jié)果分成組:,,,,,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中的值;
(2)求續(xù)駛里程在的車輛數(shù);
(3)若從續(xù)駛里程在的車輛中隨機抽取輛車,求其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在內(nèi)的概率.
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【題目】某公司想了解對某產(chǎn)品投入的宣傳費用與該產(chǎn)品的營業(yè)額的影響.右圖是以往公司對該產(chǎn)品的宣傳費用 (單位:萬元)和產(chǎn)品營業(yè)額 (單位:萬元)的統(tǒng)計折線圖.
(Ⅰ)根據(jù)折線圖可以判斷,可用線性回歸模型擬合宣傳費用與產(chǎn)品營業(yè)額的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;
(Ⅱ)建立產(chǎn)品營業(yè)額關(guān)于宣傳費用的回歸方程;
(Ⅲ)若某段時間內(nèi)產(chǎn)品利潤與宣傳費和營業(yè)額的關(guān)系為應(yīng)投入宣傳費多少萬元才能使利潤最大,并求最大利潤. (計算結(jié)果保留兩位小數(shù))
參考數(shù)據(jù):,,,,
參考公式:相關(guān)系數(shù),回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為,.
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