雙曲線(xiàn)C的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,兩條漸近線(xiàn)分別為l1,l2,經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F垂直于l1的直線(xiàn)分別交l1,l2于A,B兩點(diǎn).已知|
OA
|=2|
FA
|
,且
BF
FA
同向.
(1)求雙曲線(xiàn)C的離心率;
(2)設(shè)AB被雙曲線(xiàn)C所截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)為4,求雙曲線(xiàn)C的方程.
(1)設(shè)雙曲線(xiàn)方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0),設(shè)漸近線(xiàn)y=
b
a
x的傾斜角為α,則∠BOF=∠FOA=α,
由BF⊥OB,可得∠OFA=90°+α,
∵△OFA中,|
OA
|=2|
FA
|

∴根據(jù)正弦定理
|
OA
|
sin∠OFA
=
|
AF
|
sin∠FOA
,得sin∠OFA=2sin∠FOA,
即sin(90°+α)=2sinα,可得cosα=2sinα,
∴tanα=
sinα
cosα
=
1
2
,即
b
a
=
1
2
,得a=2b,c=
a2+b2
=
5
b
,
因此,雙曲線(xiàn)C的離心率e=
c
a
=
5
b
2b
=
5
2

(2)由(1)得a=2b,雙曲線(xiàn)的方程可化為x2-4y2=4b2…①
設(shè)l1的斜率為
b
a
=
1
2
,可得直線(xiàn)AB的斜率k=-2,得直線(xiàn)AB的方程為y=-2(x-c),
即y=-2(x-
5
b),…②
將②代入①并化簡(jiǎn),得15x2-32
5
bx+84b2=0
設(shè)AB與雙曲線(xiàn)的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則
x1+x2=
32
5
15
b,x1x2=
84b2
15
…③
∵AB被雙曲線(xiàn)所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為l=
1+(-2)2
•|x1-x2|=
5[(x1+x2)2-4x1x2]

∴將③式代入,并可得l=
5[(
32
5
15
b)2-4×
84b2
15
]
=
4b
3

∵根據(jù)已知條件得l=4,∴
4b
3
=4,解得b=3,從而得到a=6.
因此,所求雙曲線(xiàn)的方程為
x2
36
-
y2
9
=1
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知P(2,1),Q(3,-2),經(jīng)過(guò)P,Q兩點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知雙曲線(xiàn)
x2
4
-
y2
9
=1
,F(xiàn)1,F(xiàn)2是其兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)上,若∠F1MF2=120°,則△F1MF2的面積為_(kāi)_____.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

過(guò)雙曲線(xiàn)2x2-y2-2=0的右焦點(diǎn)作直線(xiàn)l交曲線(xiàn)于A、B兩點(diǎn),若|AB|=2則這樣的直線(xiàn)存在(  )
A.0條B.1條C.2條D.3條

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知雙曲線(xiàn)
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的漸近線(xiàn)方程為y=±2x,則其離心率為( 。
A.5B.
5
2
C.
3
D.
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

若雙曲線(xiàn)以y=±2x為漸近線(xiàn),且A(1,0)為一個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線(xiàn)的方程為( 。
A.
x2
4
-y2=1
B.y2-
x2
4
=1
C.x2-
y2
4
=1
D.
y2
4
-x2=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1的直線(xiàn)l與C的左、右分支分別交于A,B兩點(diǎn).若AB:BF2:AF2=3:4:5,則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

雙曲線(xiàn)的方程為
x2
16
-
y2
9
=1
,則其離心率為( 。
A.
4
5
B.
5
4
C.±
4
5
D.±
5
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知雙曲線(xiàn)
x2
n
+
y2
12-n
=-1
(n>0)的離心率是
3
,則n=______.

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