Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足8Sn＝a＋4an＋3(n∈N*)，且a1，a2，a7依次是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)．

(1)求數(shù)列{an}及{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)是否存在常數(shù)a＞0且a≠1，使得數(shù)列{an－logabn}(n∈N*)是常數(shù)列？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）an＝4n－3，bn＝5n－1.（2）

【解析】(1)n＝1時(shí)，8a1＝＋4a1＋3，a1＝1或a1＝3.(2分)

當(dāng)n≥2時(shí)，8Sn－1＝＋4an－1＋3，

an＝Sn－Sn－1＝(＋4an－－4an－1)，

從而(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0

因?yàn)?/span>{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，所以an－an－1＝4.(6分)

所以，當(dāng)a1＝1時(shí)，an＝4n－3；當(dāng)a1＝3時(shí)，an＝4n－1.

又因?yàn)楫?dāng)a1＝1時(shí)，a1，a2，a7分別為1,5,25，構(gòu)成等比數(shù)列，

所以an＝4n－3，bn＝5n－1.

當(dāng)a1＝3時(shí)，a1，a2，a7分別為3,7,27，不構(gòu)成等比數(shù)列，舍去．(11分)

(2)假設(shè)存在a，理由如下：(12分)

由(1)知，an＝4n－3，bn＝5n－1，從而

an－lonabn＝4n－3－loga5n－1＝4n－3－(n－1)·loga5＝(4－loga5)n－3＋loga5.

由題意，得4－loga5＝0，所以a＝.(16分)